完全背包练习题

题目：P2737

思路：

这题准确的说，是『布尔型完全背包』。

先打一遍板子，很容易。

int n;
scanf("%d", &n);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	int a;
	scanf("%d", &a);
	for (int j = a; j <= ???; j++) dp[j] |= dp[j - a];
}

此处的 ??? 即上界，这个过一会详细说明。

这题最棘手的地方有两个。

第一个是输出的处理。

如果仅仅需要输出：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数，那是非常容易的，使用这段代码即可：

for (int i = ???; i >= 0; i--)
	if (dp[i] == false)
	{
		printf("%d", i);
		return 0;
	}

但是！！！题目还要求：

如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限，输出 \(0\)。

我们再分两种情况解决。

• 如果所有购买方案都能得到满足，输出 \(0\)。

  换句话说，全部 \(dp_i = true\)。

  所以，我们只需要在程序末尾输出 \(0\) 即可（因为满足的情况已经被 return 0 了）。

• 如果顾客不能买到的块数没有上限，输出 \(0\)。

  稍微有点复杂。这里就是第二个棘手的地方。

  根据 『扩展欧几里德定理』,如果有不符合的数，必定会出现在 \(\max^{i=1}_{n}(a_i)^2\) 的范围里。

  说白了就是 \(256 \times 256 = 65536\) 的范围里。

  如果没有上限，说明范围内再加一个最大数也是不行的，即 \(65536\) 至 \(256 \times 257 = 65792\) 有数不符合。

那么代码就很简单了。

整体评价：

本题实现并不困难，在思路上有些难度。

绿题非常合理。

完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define M 65536   //256*256
#define MM 65792  //256*257
using namespace std;
int dp[MM + 5];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	dp[0] = true;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int a;
		scanf("%d", &a);
		for (int j = a; j <= MM; j++) dp[j] |= dp[j - a];
	}
	
	for (int i = M; i <= MM; i++)
		if (dp[i] == false)
		{
			printf("0");
			return 0;
		}
	
	for (int i = M-1; i >= 0; i--)
		if (dp[i] == false)
		{
			printf("%d", i);
			return 0;
		}
	printf("0");
	return 0;
}

首发：2022-04-25 17:08:15