快速相关

一、功能

用快速傅里叶变换计算两个有限长序列的线性相关。

二、方法简介

设序列 $x(n)$ 的长度为 $M$ ，序列 $y(n)$ 的长度为 $N$ ，序列 $x(n)$ 与 $y(n)$ 的互相关定义为

$z(n)=\sum_{i=0}^{M-1}x(i)y(n+i), \ n=-(M-1),...,N-1$

序列 $x(n)$ 的自相关定义为

$z(n)=\sum_{i=0}^{M-1}x(i)x(n+i), \ n=-(M-1),...,M-1$

显然，如果 $M=N$ 并且序列 $x(n)$ 与 $y(n)$ 相同，那么互相关就变成了自相关。

用快速傅里叶变换计算线性相关的算法如下：

1、选择 $L$ 满足下述条件

$\left\{\begin{matrix}\begin{align*}L &\geqslant M + N - 1\\ L &= 2^{\gamma }, \ \gamma \ is \ positive \ integer\end{align*}\end{matrix}\right.$

2、将序列 $x(n)$ 与 $y(n)$ 按如下方式补零，形成长度为 $L=2^{\gamma }$ 的序列

$\bar{x}(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}x(n) & , \ n=0,1,...,M-1\\ 0 & , \ n=0,1,...,M,M+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.$

$\bar{y}(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}0 & , \ n = 0,1,...,M-2\\ y(n) & , \ n = M-1, M,...,M+N-2\\ 0 & , \ n = M+N-1, M+N,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.$

3、用FFT算法分别计算序列 $\bar{x}(n)$ 和 $\bar{y}(n)$ 的离散傅里叶变换 $X(k)$ 与 $Y(k)$

$X(k)=\sum_{n=0}^{L-1}\bar{x}(n)e^{-j2\pi nk/L}$

$Y(k)=\sum_{n=0}^{L-1}\bar{y}(n)e^{-j2\pi nk/L}$

4、计算 $X(k)$ 与 $Y(k)$ 的乘积

$Z(k)=X^*(k)Y(K)$

其中 $*$ 表示复共轭；

5、用FFT算法计算 $Z(k)$ 的离散傅里叶反变换，得到线性相关 $z(n)$

$z(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{L-1}Z(k)e^{j2\pi nk/L}, \ n=0,1,...,L-1$

序列 $z(n)$ 的前 $M+N-1$ 点的值就是序列 $x(n)$ 与 $y(n)$ 的线性相关。

三、使用说明

快速卷积的C语言实现方式如下

/************************************
	x 			----双精度实型一维数组，长度为m。开始时存放实序列x(i)，最后存放线性相关的值。
	y 			----双精度实型一维数组，长度为n。开始时存放实序列y(i)。
	m 			----整型变量。序列x(i)的长度。
	n 			----整型变量。序列y(i)的长度。
	len			----整型变量。len>=m+n-1，且必须是2的整数次幂，即len=2^gamma
************************************/
#include "stdlib.h"
#include "rfft.c"
#include "irfft.c"
void correl(double *x, double *y, int m, int n, int len)
{
	int i, len2;
	double t, *z;
	z = mlloc(len * sizeof(double));
	for(i = m; i < len; i++)
		x[i] = 0.0;
	for(i = 0; i < (m - 1); i++)
		z[i] = 0.0;
	for(i = (m - 1); i <= (m + n - 2); i++)
		z[i] = y[i - m + 1];
	for(i = (m + n - 1); i < len; i++)
		z[i] = 0.0;
	rfft(x, len);
	rfft(z, len);
	len2 = len / 2;
	x[0] = x[0] * z[0];
	x[len2] = x[len2] * z[len2];
	for(i = 1; i < len2; i++){
		t = x[i] * z[i] + x[len - i] * z[len - i];
		x[len - 1] = x[i] * z[len - i] - x[len - i] * z[i];
		x[i] = t;
	}
	irfft(x, len);
	free(z);
}