快速卷积
一、功能
用快速傅里叶变换计算两个有限长序列的快速卷积。
二、方法简介
设序列\(x(n)\)的长度为\(M\)，序列\(y(n)\)的长度为\(N\)，序列\(x(n)\)与\(y(n)\)的线性卷积定义为
\[z(n)=\sum_{i=0}^{M-1}x(i)y(n-i) \ , \ n=0,1,...,M+N-2
\]
用快速傅里叶变换计算线性卷积的算法如下
1、选择\(L\)满足下述条件
\[\left\{\begin{matrix}\begin{align*}L &\geqslant M + N - 1\\ L &= 2^{\gamma }, \ \gamma \ is \ a \ positive \ integer\end{align*}\end{matrix}\right.
\]
2、将序列\(x(n)\)与\(y(n)\)按如下方式补零，形成长为\(L = 2^{\gamma }\)的序列
\[\begin{matrix}x(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}x(n) &, n=0,1,...,M-1 \\ 0 &, n=M,M+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\\ \end{matrix}
\]
\[\begin{matrix}y(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}y(n) &, n=0,1,...,N-1 \\ 0 &, n=N,N+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\\ \end{matrix}
\]
3、用FFT算法分别计算\(x(n)\)与\(y(n)\)的离散傅里叶变换\(X(k)\)与\(Y(k)\)
\[\begin{matrix}X(k)=\sum_{n=0}^{L-1}x(n)e^{-j2\pi nk/L}\\ Y(k)=\sum_{n=0}^{L-1}y(n)e^{-j2\pi nk/L}\end{matrix}
\]
4、计算\(X(k)\)与\(Y(k)\)的乘积
\[Z(k)=X(k)Y(K)
\]
5、用FFT算法计算\(Z(k)\)的离散傅里叶反变换，得到卷积\(z(n)\)
\[z(n)=\frac{1}{L}\sum_{k=0}^{L-1}Z(k)e^{j2\pi nk/L}, \ n=0,1,...,L-1
\]
序列\(z(n)\)的前\(M+N-1\)点的值就是序列\(x(n)\)与\(y(n)\)的线性卷积。
三、使用说明
快速卷积的C语言实现方式如下
/************************************
x ----双精度一维数组，长度为len。开始时存放实序列x(i)，最后存放线性卷积的值。
y ----双精度一维数组，长度为n。开始时存放实序列y(i)。
m ----数据长度，序列x(i)的长度。
n ----数据长度，序列y(i)的长度。
len ----线性卷积长度，len≥m+n-1，且必须是2的整数次幂，即len=2^gamma。
************************************/
#include "rfft.c"
#include "irfft.c"
void convol(double *x, double *y, int m, int n, int len)
{
int i, len2;
double t;
for(i = m; i < len; i++)
x[i] = 0.0;
for(i = n; i < len; i++)
y[i] = 0.0;
rfft(x, len);
irfft(y, len);
len2 = len / 2;
x[0] = x[0] * y[0];
x[len2] = x[len2] * y[len2];
for( i = 1; i < len2; i++){
t = x[i] * y[i] - x[len - i] * y[len - i];
x[len - i] = x[i] * y[len - i] + x[len - i] * y[i];
x[i] = t;
}
irfft(x, len);
}
其中rfft.c文件请参考实序列快速傅里叶变换（一）
irfft.c在rfft.c的基础上添加系数长度的倒数。
