拉普拉斯分布的随机数
一、功能
产生拉普拉斯分布的随机数。
二、方法简介
1、产生随机变量的组合法
将分布函数\(F(x)\)分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合
\[F(x)=\sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)
\]
其中 $ p_{i}> 0 \ (\forall i) $ ，且 $ \sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，\(F(x)\)是分布函数。
定理 若随机变量\(\xi \sim s\)离散分布\(\left \{ p_{i} \right \}\)，即\(P(\xi =i)=p_{i}\)，并且\(z \sim F_{\xi }(x)\)，取\(z=x\)，则\(z \sim F(x) = \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)\)
证明 \(z\)的分布函数为
\[P(z \leqslant t) = P((z \leqslant t) \cap \bigcup_{i=1}^{K}( \xi = i)) \\
= \sum_{i=1}^{K}P(z \leqslant t, \xi =i) \\
= \sum_{i=1}^{K}P(\xi = i)P(z \leqslant t \mid \xi =i) \\
= \sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t)
\]
定理证毕。
根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：
- 产生一个正随机数\(\xi\)，使得\(P(\xi = i) = p_{i} \ (i = 1,2,...,K)\)；
- 在\(\xi = i\)时，产生具有分布函数\(F_{i}(x)\)的随机变量\(x\)。
该算法中首先以概率\(p_{i}\)选择子分布函数\(F_{i}(x)\)，然后取\(F_{i}(x)\)的随机数作为\(F(x)\)的随机数。
2、产生拉普拉斯分布随机数的方法
拉普拉斯分布的概率密度函数为
\[f(x) = \frac{1}{2\beta }e^{-\frac{\left | x \right |}{\beta }}
\]
Laplace分布的均值为0，方差为\(2\beta ^{2}\)。拉普拉斯分布也称为双指数分布。
根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：
- 产生均匀分布的随机数\(u_{1}\)和\(u_{2}\)，即\(u_{1},u_{2} \sim U(0,1)\)；
- 计算\(x = \left\{\begin{matrix} -\beta \ ln(1 - u_{1}) & u_{1} \leqslant 0.5 \\ \beta \ ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5 \end{matrix}\right.\)
三、使用说明
使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：
#include "math.h"
#include "uniform.c"
double laplace(double beta, long int *s)
{
u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
if(u1 <= 0.5)
x = -beta * log(1.0 - u2);
else
x = beta * log(u2);
return(x);
}
uniform.c文件参见均匀分布的随机数
