摘要：
其实这里有个问题，就是表面积本来就是用积分定义的。标题上说「不用积分」，只是说不是计算积分，而是按照定义导出未知面积和已知面积的关系，从而导出所需公式。 圆柱的侧面积 对于圆柱，经常看到的推法是把侧面展开成平面图形（长方形）。这虽然很直观，但到底什么叫「展开」，根本说不清楚。 用表面积的定义，可以严 阅读全文
摘要：
求这些规则几何体的体积如果都要算积分的话，那也太麻烦了。本文将讨论如何不用积分就能得出结论。 虽然不用算积分，但也要用到积分的思想。因此本文承认以下引理： 引理 (袓暅原理) 所有等高处横截面积相等的两个同高立体的体积相等 柱体 对某一柱体，构造与之具有相同的底面积和高的正四棱柱，则由引理可知，该柱 阅读全文
摘要：
对于定积分，高中教材里有如下引例： （高中教材本身就不严谨，这无所谓，但是我对这个例题印象太深了，所以拿它举例说明问题） 小矩形面积和的极限，等不等于曲线下方的面积？这是一个很迷的问题。 有人会说，面积不就是用积分定义的吗？可是你怎么保证你这样定义的面积跟几何直观上是一致的呢？ 换句话说，图中小矩形 阅读全文
摘要：
为什么圆的面积 \( S = \pi r^2 \)? 怎么证？ 证法可以有很多，但是那些广为人知的「证法」多多少少都有问题。 小学的证法 切西瓜片？太不严密，不能令人信服： 人家圆弧明明是弯的，你凭什么说人家是直的？无论你分成多少份，那圆弧始终都是弯的，拼起来永远都不可能成为平行四边形。逼近也得讲道 阅读全文