辅助角公式的几何意义

好久没更文了，就随便写点东西吧，虽然有点水。

---

所谓「辅助角公式」就是中学数学里面一个平淡无奇的公式：

\( A\cos{t}+B\sin{t} = \sqrt{A^2+B^2} \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)

或

\( A\sin{t} + B\cos{t} = \sqrt{A^2+B^2} \sin(t+\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)

对于这个公式，我们的解释一般是「提出 \( \sqrt{A^2+B^2} \), 凑出两角和公式」。

然而这对与几何迷来说并不能满意对吧？

现在我们就来谈谈几何意义。

如果用复数来解释倒是很容易，不过那就开挂了。

所以我打算在实数范围内就把问题说清楚。

---

刚才的公式里面，我为什么不把变量写成 \(x\), 而是写成 \(t\) 呢？

这是因为，从运动的角度来看，可以更好地理解三角函数。

比如说，还有一套三角函数的基本公式叫做诱导公式。

其中有这么一条：　　

\( \sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos{x} \)

刚学这个公式的时候我就想，正弦一平移就变成了余弦。

这就说明正弦和余弦的函数图像都是一样的。

也就是说，正弦和余弦本质上并没有什么区别。

当时觉得这相当匪夷所思。

后来就明白了。

如果从运动的角度来考虑，假设有一个点以 1 rad/s 沿单位圆（\(x^2+y^2=1\)）做圆周运动，坐标为 \( (\cos{t},\sin{t}) \).

那么，正弦就是这个运动在 y 轴上的投影，余弦就是在 x 轴上的投影。

x 轴和 y 轴只不过是过原点的有向直线中的两条罢了。

过原点还有无数条有向直线。

因为圆是完美对称的，所以这些直线其实没有高低贵贱之分。

如果把这个点投影到每条直线上，

那么每一个投影，都是圆周运动的投影，都是简谐运动。

这些运动也没有高低贵贱之分。

只不过初相位不同罢了。

x 轴和 y 轴当然也不例外。

---

然后我们再回来看辅助角公式。

\( A\cos{t}+B\sin{t} = \sqrt{A^2+B^2} \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \;\;\; (A>0) \)

右边是一个简谐运动，那么左边也是。

这说明左边也是一个圆周运动的投影。

投影。

想到了什么？

点积。

 \( A\cos{t}+B\sin{t} \)

\( = (A,B) \cdot (\cos{t},\sin{t}) \)

\( = \sqrt{A^2+B^2}\cdot\mathrm{proj}((\cos{t},\sin{t}) \rightarrow (A,B)) \)

看看这个式子，再看看下面这张图，是不是有种恍然大悟的感觉？

\( \arctan{\frac{B}{A}} \) 正是 \( (A,B) \) 与 \(x\) 轴之间的夹角。

所以这个简谐运动比 \(x\) 轴上的投影慢了 \( \arctan{\frac{B}{A}} \) 个相位。

因此它的表达式就是 \( \cos(t-\arctan{\frac{B}{A}}) \).

这是表示成余弦。

要表示成正弦也可以。

我们再作一个 \( (B,A) \) 向量。

此时 \( A \sin{t} + B \cos{t} = (B,A) \cdot (\cos{t},\sin{t}) \).

由于 \( (B,A) \) 跟 \( (A,B) \) 是关于直线 \( y=x\) 对称的，

所以 \( (B,A) \) 和 \(y\) 轴之间的夹角同 \( (A,B) \) 和 \(x\) 轴之间的夹角是相等的，

也就是 \( \arctan{\frac{B}{A}} \).

但是夹角的方向是相反的。

所以这个简谐运动比 \(y\) 轴上的投影快了 \( \arctan{\frac{B}{A}} \) 这么多。

因此它的表达是就是 \( \sin(t+\arctan{\frac{B}{A}}) \).

最后补充一下，公式中 \(A>0\) 的条件是为了保证 \(\arctan\) 函数能够返回正确的角度。

（完）