圆柱、圆锥的侧面积和球的表面积公式推导（不用积分）
其实这里有个问题，就是表面积本来就是用积分定义的。标题上说「不用积分」，只是说不是计算积分，而是按照定义导出未知面积和已知面积的关系，从而导出所需公式。
圆柱的侧面积
对于圆柱，经常看到的推法是把侧面展开成平面图形（长方形）。这虽然很直观，但到底什么叫「展开」，根本说不清楚。
用表面积的定义，可以严格化这个所谓的「展开法」。
微积分对表面积的定义是「曲面切平面上的长方形面积微元和的极限」。那么圆柱的面积微元怎么取呢？容易看出，圆柱这个几何体是圆沿垂直方向拉出高的长度形成的，那么我们就作圆的外切正 n 边形，也拉出同样的高度，形成一个正棱柱。我们把这个正棱柱的每个侧面作为面积微元。然后把这些面积微元连起来铺到同一平面上，就形成了一个矩形，一边长是高 (设为 \(h\))，一边长是 \( 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \) (设半径为 r).
所以有
\( S_n = h \cdot 2nr\tan{\frac{\pi}{n}} \)
\( S_n = 2\pi rh\frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)
\( S = \lim_\limits{n\to\infty}S_n \)
\( S = 2\pi rh \cdot \lim_\limits{n\to\infty} \frac{\tan{\frac{\pi}{n}}}{\frac{\pi}{n}} \)
\( S = 2\pi rh \)
圆锥的侧面积
圆锥也可以展开，但展开图是个扇形，一个曲边的图形，这就不大好用跟上面一样的方法来处理。
这里有一种更巧妙的方法。在圆锥的侧面上取一面积微元 \(\Delta\sigma'\), 则它在底面上的投影就是底面圆的面积微元 \( \Delta\sigma \). 而由面积微元的定义（在切平面上）和圆锥的性质可得，这两个面积微元间存在确定的比例关系 \( \Delta\sigma' = \frac{\Delta\sigma}{\cos{\theta}} \), 其中 \( \theta \) 为圆锥母线与底面的夹角。因为每对面积微元都存在这一比例关系，所以整块面积也就必然存在同一比例关系。由此可得：
\( S = \frac{\pi r^2}{\cos{\theta}} \) ( \(r\) 为底面半径 )
\( S = \pi r^2 \cdot \frac{l}{r} \) ( \(l\) 为母线长 )
\( S = \pi rl \)
球的表面积
先来事后诸葛亮一下：球的表面积是 \(4\pi R^2\), 这表明球的表面积与其外接圆柱的侧面积相等。事实上球面上任意一个球带的面积都跟同高圆柱面（半径为球面的半径）的侧面积相等。
神奇吧！对任意一个球带竟然都相等！这匪夷所思的事实给了我们明确的思路：证明球面上面积微元的大小与其外接圆柱面上的相等。
（下面的说明有点抽象，但图实在是太难画了。把这个过程当作在柱坐标系下的积分的过程的一部分可能会比较容易理解。）
作出半径为 \(R\) 的球的外接圆柱。用间隔为 \(\Delta h\) 的两个平行于圆柱底面的平面截这两个几何体，得到一个窄带。设窄带中央和球心的距离为 \(h\). 过窄带中央再作一个平行于圆柱底面的平面，与球相交得到一个小圆（半径设为 r），与圆柱相交得到一个与球上大圆等大的圆（它们是同心圆）。从圆心引射线把这两个圆同时分成 \(n\) 份，井以射线和圆的交点为切点作出这两个圆的外切正 \(n\) 边形，设球过切点的半径与竖直方向（与平面垂直的方向）的夹角为 \(\theta\) (\(\cos{\theta}=\frac{h}{R}\)), 以该正多边形的边长为一边长，以过切点的曲面的切平面在窄带内的最大向上延伸长度为为另一边长分别作两曲面的面积微元，可得
圆柱的面积微元大小为
\( \Delta\sigma = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)
球面的面积微元大小为
\( \Delta\sigma' = 2r\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)
\( \Delta\sigma' = 2R\sin{\theta}\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{\Delta h}{\sin{\theta}} \)
\( \Delta\sigma' = 2R\tan{\frac{\pi}{n}} \cdot \Delta h \)
\( \Delta\sigma' = \Delta\sigma \)
得证。
由此得
\( S = 2\pi R \cdot 2R \)
\( S = 4\pi R^2 \)
