取快递的数学问题：手机尾号的重复概率

学校门口，四位手机尾号取快递。问：设有 \(n\) 个包裹，则存在两个包裹号码（收件人手机尾号，假设均匀分布）相同的概率 \(P(n)\) 是多少？

答曰：手机尾号一共有 \(10^4=10000\) 个，所以 \( P(n)=\frac{A_{10000}^n}{(10000)^n} \), 其中 \(A_n^r\) 为排列数。

求出表达式非常简单，然而计算具体值时却遇到了麻烦：分子和分母都太大了，IEEE 754 浮点数受不了了，直接扔给我个 Infinity.

怎么办呢？把排列数展开，取对数，乘除变加减：

\( \log{P(n)} \)

\( = \log{\frac{A_{10000}^n}{(10000)^n}} \)

\( =\log{A_{10000}^n}-n\log{10^4} \)

\( =\log{10^4(10^4-1)\cdots(10^4-n+1)}-4n\log{10} \)

\( =\log{10^4}+\log{(10^4-1)}+\cdots+\log{(10^4-n+1)}-4n\log{10} \)

不想这么麻烦的话，也有很精确的阶乘近似公式可用（这里就不限于整数了）：

\( \left\{\begin{matrix} n! = \Gamma(n+1) \\ \ln\Gamma(z) \approx \tfrac{1}{2} \left[\ln(2\pi) - \ln z\right] + z\left[\ln\left(z + \frac{1}{12z - \frac{1}{10z}}\right) - 1\right] \end{matrix}\right. \)

总之，最后能算出来具体的数。下面列出 n 取某些特殊值时的概率：

n	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200
P(n)	2%	8%	16%	27%	39%	51%	62%	72%	80%	87%

\([20, 200]\) 区间内 \(y=P(x)\) 的函数图像如下（只有 \(x\) 等于整数的点有实际意义）：

看起来有点反直觉：重复的概率怎么这么大？确实这么大，只要手机尾号是均匀分布的。

不过，自己的号跟某个人的号一样（存在某个人跟自己同号）的概率并不大：

所以，重号的概率不小，但自己碰上的概率就很小了。（不过那大得吓人的重号概率还是很反直觉……）