几个三角公式的直观几何解释

先来一个不等式：

1.

\( \left | \sin{\theta} \right | + \left | \cos{\theta} \right | \geqslant 1 \)

当图中三角形不能构成时，等号成立。

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再来几个等式：

2.

\( \tan{\frac{\theta}{2}} = \frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}=\frac{1-\cos{\theta}}{\sin{\theta}} \)

这张图只说明了 \(\theta\) 为锐角时，上述公式成立。但实际上该公式对任意角 \(\theta\) 都成立（可以用「万能公式」直接导出）。

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 3.

\( \sec^2{\theta} = 1 + \tan^2{\theta} \)

\(\csc^2{\theta} = 1 + \cot^2{\theta}\)

 

一图胜千言（图形还是只限于锐角，不过严格证明（推广）很容易，这里就不再赘述）。

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4. 和角公式（锐角限定，容易推广）：

\( \sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \)

\( \cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \)

\( \tan{(\alpha+\beta)} = \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \)

（图片来源：Wikipedia）

（图片来源：Wikipedia）

差角公式如法炮制即可。

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参考：

trigonometry - Intuition of Addition Formula for Sine and Cosine - Mathematics Stack Exchange