a(n+1) = f[a(n)] 型递推数列的迭代作图（玩计算器玩出了问题）
把任意一个正数开平方再加 \(1\), 把得到的结果也开平方再加 \(1\), 不断算下去，最终总会得到 \( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.61804 \), 即：
\( \sqrt{\cdots \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}+1}+1}+1}+1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \;\;\;\; (x>0) \)
这是某同学玩计算器时发现的，非常有意思。不管一开始给的数是多少，终最都会停在这个神奇的数上，它是黄金比 \( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \) 的平方。
比如代入 \(x=2\), 成立：
代入 \(x=20\), 也成立：
把算式从 \( \sqrt{x}+1 \) 换成 \( \sqrt{x}+2 \) 也有类似结论：
也就是说，递推数列
\( a_{n+1} = \sqrt{a_{n}}+1 \;\;\;\; (a_{1}>0) \)
在 \( n \rightarrow +\infty \) 时，收敛于 \( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \). 把 \(+1\) 换成加别的正数也有类似结论，只是收敛到的值不同。
那么，问题来了：这是为什么呢？为什么收敛？为什么极限是这个数，而且与 \( a_{1} \) 无关？
我在网上提问后，得到了这样的答案：
你看，如果这个数列在 \( n \rightarrow +\infty \) 时收敛的话，那么当 \(n\)「很大很大」的时候，\( a_{n+1} 和 a_{n} \) 就是一个东西了，即：
\( \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n+1} \)
将递推式代入可得：
\( \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = \lim_{n \rightarrow +\infty} (\sqrt{a_{n}}+1) \)
\( \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = \left (\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{a_{n}} \right )+1 \)
\( \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} = \sqrt{ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} }+1 \)
令 \( x = \lim_{n \rightarrow +\infty} a_{n} \), 得：
\( x = \sqrt{x}+1 \)
解得
\( x = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \)
这一答案有理有据，解释了为什么极限与 \( a_{1} \) 无关，并且解出了这个极限。可「为什么收敛」的问题，还是没有解决。
后来不知从哪里看到一个作图方法，正好可以解决这个问题。虽然不是严格证明，但非常直观。
如图，蓝色直线（设为 \(l\)）是 \( y = x \), 红色曲线（设为 \(m\)）是 \( y = \sqrt{x}+1 \), 它们的交点 \(I\) 的横坐标 \(I_{x}\) 即是方程 \( x = \sqrt{x}+1 \) 的解，也就是数列的极限。
在 \(x\) 轴上取点 \(A_{1}(a_{1},\; 0)\), 过 \(A_{1}\) 作竖直直线交 \(m\) 于 \(P_{1}\). 此时 \(P_{1}\) 的纵坐标为 \(\sqrt{a_{1}}+1\), 即 \(a_{2}\). 这相当于完成了第一次代入。
为了进行第二次代入，以求出 \(a_{3}\), 我们可以过 \(P_{1}\) 作水平直线交 \(l\) 于 \(R_{1}\), \(R_{1}\) 在 \(x\) 轴上的投影设为 \(A_{2}\), 它的横坐标是 \(A_{2}\).
这时。我们就可以像刚才的 \(A_{1}\) 一样，过 \(A_{2}\) 作竖直直线交 \(m\) 于 \(P_{2}\), 求出 \(a_{3}\) …… 一直重复这个过程，就会在 \(x\) 轴上留下一串点 \( A_{1}\;A_{2}\;A_{3}\cdots \), 它们的横坐标就是数列的各项 \( a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots \) .
两条曲线中间留下了一个阶梯状的图形。很容易看出，这个「阶梯」是穿不过 \(I\) 点的，而且随着 \(n\) 趋于无穷大，\(P_{n}\) 点无限趋近于 \(I\) 点。这就说明了数列 \(\{a_{n}\}\) 收敛于 \(I_{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\) .
这个作图方法适用于各种 \( a_{n+1} = f(a_{n}) \) 形的递推数列，比如下面这个 \(a_{n+1} = \cos(a_{n})\) :
只不过这个就不是阶梯形的了，而是螺旋形的，一圈一圈地往里转。
至此，终于打破沙锅问到底，把玩计算器玩出的问题解决了。
