动态规划--找零钱 coin change

来自http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/

对于整数N，找出N的所有零钱的表示。零钱可以用S={s1,s2,s3,..sm}表示，每种零钱的数量为无穷。请问有多少种找零的方法？

例如，

N = 4,S = {1,2,3}，有四种找零方式{1,1,1,1},{1,1,2},{2,2},{1,3},return 4

N = 10,S= {2,5,3,6} ，有5中找零方式{2,2,2,2,2}, {2,2,3,3}, {2,2,6}, {2,3,5} and {5,5} return 5;

============
递归方法，利用搜索树

1，找出子问题模型：为了统计所有s结果的数量，我们可以将问题分为两部分： 结果中不含有硬币sm，  结果中含有硬币sm

函数int count(int S[],int m,int n)计算结果的数量,
函数返回   S[0..m-1]组成的零钱     可以为N找零钱的   方法数

那么很显然可以等价于这两者的和 count(S,m-1,n) + count(S,m,n-S[m-1])，其中count[S,m-1,n]不包括S[m-1]这个硬币，count(S,m,n-S[m-1])包括了S[m-1]这个硬币。

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迭代计算子问题，使用递归的方法：

代码的注释是为了求解有多少找零钱的方法，

code的方法是为了求解所有结果，打印出来

class A{
　　public:
  ///returns the count of ways we can sum s[0..m-1] coins to get sum n
    void help_coinChange(vector<int>& s,int m,int n,vector<int> re){
        /// if n is 0 then this is 1 solution (do not include any coin)
        if(n==0){
            for(auto i: re){cout<<i<<" ";}cout<<"-"<<endl;
            return;
        }
        /// if n is less than 0 then no solution exists
        if(n<0) return;
        /// if there are no coins and n is greater than 0, there no solution exist
        //if(m=0 && n>=1) return ;
        if(m<=0) return ;
        ///(i) excluding S[m-1] (ii) including S[m-1]

        help_coinChange(s,m-1,n,re);
        re.push_back(s[m-1]);
        help_coinChange(s,m,n-s[m-1],re);
    }
    void coinChange(vector<int>& coins, int amount){
        vector<int> re;
        help_coinChange(coins,coins.size(),amount,re);
    }  
};

这种方法可以画成一颗DFS搜索树

例如：

                                    c[1,2,3],m=3,n=5,re=[]
                                    /                  \
                            c[],m=2,n=5,[]
                            /           \
                       c[],m=1,n=5,[]   
                        /           \
                    c[],m=0,n=5,[]  c[],m=1,n=4,[1]
                                    /               \
                                c[],m=0,n=4,[1]     c[],m=1,n=3,[1,1]
                                                    /               \
                                                c[],m=0,n=3,[1,1]   c[],m=1,n=2,[1,1,1]
                                                                    /                  \
                                                                c[],m=0,n=2,[1,1,1]    c[],m=1,n=1,[1,1,1,1]
                                                                                      /                     \
                                                                                    c[],m=0,n=1,[1,1,1,1]   c[],m=1,n=0,[1,1,1,1,1]====

这么搜索，会有很多重复的路径在里面。

当然我们也可以采用BFS的方法来求解  http://bookshadow.com/weblog/2015/12/27/leetcode-coin-change/

代码在这里，

==================完全背包问题，动态规划

这个在在背包问题9讲里讲的很详细，可以google一下。

代码在这里(统计找零钱的种类数)

class A{
public:
  void dp_coinChange(vector<int> & coins,int amount){
        vector<int> re;
        int n = amount;///
        int m = coins.size();
        vector<int> re1;
        vector<int> re2;

        ///we need n+1 rows as the table is constructed in bottom up manner
        /// using the base case 0 value case (n=0)
        int table[n+1][m];

        ///fill the enteries for 0 value case (n = 0)
        for(int i = 0;i<m;i++){
            table[0][i] = 1;
        }

        ///fill rest the table enteries in bottom up manner
        for(int i = 1;i< n+1;i++){
            for(int j = 0;j<m;j++){
                ///count of solutions including S[j]
                int x = (i-coins[j] >=0)? table[i-coins[j]][j]:0;
                ///count of solutions excluding S[j]
                int y = (j >= 1)?table[i][j-1]:0;
                ///total count
                table[i][j] = x+y;
            }cout<<endl;
        }
        //return table[n][m-1];
    }    
};

 ==================================

动态规划寻找零钱个数最少的解。leetecode 322

给定几个固定的面值，可以无限使用。一个目标数，要求用最少的硬币兑换这个target

解法1，如果每次走给定面值的步数，问对少走多少步能达到目标target，可以使用bfs的思路求解。

解法2，动态规划：dp[i] = min{dp[i-c1],dp[i-c2],dp[i-c3],dp[i-c4]...}+1

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount){
        ///dp[i] = min{dp[i-c1],dp[i-c2],dp[i-c3],dp[i-c4]...}+1
        if(amount == 0) return 0;
        vector<int> dp(amount+1,INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1;i<amount+1;i++){
            for(int j = 0;j<(int)coins.size();j++){
                if(i-coins[j]>=0){
                    dp[i] = min(dp[i],dp[i-coins[j]]);
                }
            }
            int tmp = (dp[i]==INT_MAX)? INT_MAX: dp[i]+1;
            dp[i] = tmp;
        }
        return dp[amount]==INT_MAX? -1: dp[amount];
    }
};