前缀和与差分

1. K倍区间#

来源：第八届蓝桥杯省赛C++B组,第八届蓝桥杯省赛JAVAB组
原题链接

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\dots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\dots A_j$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

数据范围

$1\le N,K\le 100000$,
$1\le A_i\le 100000$

输入样例

5 2
1
2
3
4
5

输出样例

6

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算法：（前缀和 + 哈希表）$O(n)$#

算法内容#

• 暴力做法：
  我们先预处理前缀和，用$i$和$j$暴力枚举所有区间，每一次判断区间[j, i]是否满足$(s[i]-s[j-1])$ % $k$ $=$ $0$，若满足答案加$1$，但是会循环$\frac{n^2}{2}$次，时间复杂度为$n^2$，会TLE

• 我们如何优化？
  我们可以只用$i$枚举区间的右端点，对于所有以$i$为右端点的区间我们要找的是$i$前面有多少数满足：
  $s[i]-s[i-1]$ % $k$ $=$ $0$ $⟺$ $s[i]$ % $k$ $=$ $s[i-1]$ % $k$
  $s[i]-s[i-2]$ % $k$ $=$ $0$ $⟺$ $s[i]$ % $k$ $=$ $s[i-2]$ % $k$
  $s[i]-s[i-3]$ % $k$ $=$ $0$ $⟺$ $s[i]$ % $k$ $=$ $s[i-3]$ % $k$
  ···
  $s[i]-s[0]$ % $k$ $=$ $0$ $⟺$ $s[i]$ % $k$ $=$ $s[0]$ % $k$
  问题转化为s[i]前面有多少个数满足它除以$k$的余数是$s[i]$ % $k$，所以我们可以用哈希表记录s数组中$i$前面的所有的数除以$k$的每一种余数的出现次数，每一次循环查表$s[i]$ % $k$的次数，并累加，然后更新哈希表。

• 注意：
  1.答案最多为$\frac{n^2}{2}$个，可能爆$int$；前缀和数组最大的值可能为$N\ast K$个，也可能爆$int$
  2.最开始循环时，$i=1$，一定记得将$s[0]$的信息插到哈希表中，因为$s[0]=0$，所以$s[0]$ % $k$ $=$ $0$，出现$1$次
  3.每一次循环结束记得把$s[i]$的信息加到哈希表中

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C++代码#

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010;

int n, k;
LL s[N], cnt[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%lld", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }

    LL res = 0;
    cnt[0] = 1; //一定要初始化是前面的s0的信息，因为s0 = 0，所以s0 % k = 0出现一次
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        res += cnt[s[i] % k];
        cnt[s[i] % k] ++ ;
    }

    printf("%lld\n", res);

    return 0;
}

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