JC2 递推，递归与分治
递推，递归与分治
递推
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什么是递推
递推，就是从小的解开始，一步一步推到最优解的过程。
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如何递推
这就要看具体情况，想出递推式，然后一步一步递推即可。
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递推如何应用
讲这个之前，我们不妨先讲一讲递推如何具体实现。
第一步是先初始化。切记！
有两种表示方法：
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数组递推法，如 f[i] = f[i-1]+f[i-2];
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记忆化搜索，若冗余状态比较多则需要记忆化，否则直接调用即可。注意递归的结束，否则MLE或TLE后果自负。
那么，什么是冗余状态呢？
这是一个关于f(5)的解答树，可以看见，红色的都是被重复计算的，很多节点被重复计算了多次，若数比较大，重复计算的可不止这几个，而是一颗巨大的子树。
那么，没有记忆化的f究竟有多慢呢？
我们可以做一个测试。
代码如下：
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdlib> 4 #include<ctime> 5 using namespace std; 6 int f(int i) 7 { 8 if(i == 0)return 0; 9 if(i == 1)return 1; 10 return f(i-1)+f(i-2) % 233333333; 11 } 12 int main(int argc,char** argv) 13 { 14 int i = atoi(argv[1]); 15 cout<<f(i)<<endl; 16 cout<<"时间:"<<clock()/double(CLOCKS_PER_SEC); 17 }
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左图是笔者的vim截图，右图时代码在笔者机器上面的运行结果。
可以看出，速度的增长是指数级的。
我们在计算时用数组记录已经算出的结果，就是记忆化搜索的核心思想。
但是，如果冗余状态比较少，或者没有，我们也可以不用记忆化。就像我们计算阶乘时，,很容易可以看出，每个状态只由前一个推出，所以，每个状态只被计算了一次。
递归
这个其实不用多说递归就是递推和回归，记忆化搜索就是递归的过程。
我们来看一个类似递归的故事：
- 皇帝要计算f(5)（就是5!）.
- 皇帝问大臣:f(4)=?
- 大臣问师公:f(3)=?
- 师公问先生:f(2)=?
- 先生问小学生:f(1)=?
- 小学生口算:f(1)=1
- 先生口算:f(2)=2
- 师公口算:f(3)=6
- 大臣口算:f(4)=24
- 皇帝口算:f(5)=120
皇帝满意了。
虽然这个比喻不是特别恰当，但是也能说明一些事情。
根据C++语言的特性，调用自己和调用其他函数并没有任何区别，都是压栈并修改当前代码行。
