关于期望的一切

本文包括以下方面：

• 离散期望
  • 基础定义
    • 随机事件
    • 随机事件结果
    • 期望的意义
  • 基础期望 DP
    • 裸期望 DP
    • 期望 DP 与解方程
    • 期望 DP 与前缀和
    • 期望 DP 与顺推
• 连续期望
  • 基础定义
    • 采样推导
    • PDF 与 CDF
    • 高重积分
    • 测度
  • 多项式与连续期望
    • 配合 DP
    • 配合 FFT
• 期望 DP 高级
  • 期望 DP 与生成函数
  • 期望 DP 与矩阵快速幂
  • 期望 DP 与 FWT

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期望：是对一个随机事件的结果的平均值的估计。
例如说：有一个游戏：抛硬币，正面赚 100 元，反面赔 100 元，你会觉得这个游戏不赚不赔，这个游戏的期望就是 0.
又有一个游戏：正面赚 100 元，反面赔 50 元，你会觉得这个游戏稳赚不赔，你会发现，有 $\frac{1}{2}$ 的概率赚 100，$\frac{1}{2}$ 的概率赔 50，期望为：$\frac{1}{2}\times 100+\frac{1}{2}\times (-50)=25$。

离散期望

基础概念

定义 1.1：设 $E$ 是一个随机事件集，$V(e)$ 是 $e$ 事件的结果，$P(e)$ 是 $e$ 事件的发生概率，则期望被定义为：

$$\mathcal{E}(S;V,P)=\sum _{e\in S}V(e)P(e)$$

，例如上面的游戏 2：$\mathcal{E}=V(\mathrm{正}\mathrm{面})P(\mathrm{正}\mathrm{面})+V(\mathrm{反}\mathrm{面})P(\mathrm{反}\mathrm{面})=\frac{1}{2}\times 100+\frac{1}{2}\times (-50)=25$
，再例如，一个均匀的六面骰子的期望点数是：$\mathcal{E}(\{1,2,3,4,5,6\})=V(1)P(1)+V(2)P(2)+\cdots +V(6)P(6)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{7}{2}$。

一个经典的例题：有一枚硬币，抛出正面你赚一块钱，并可以继续抛；抛出反面终止游戏。求期望。请思考一下。
考虑在哪一次出现了反面。

• 反：概率 1/2，赚 0 元
• 正反：概率 1/4，赚 1 元
• 正正反：概率 1/8，赚 2 元
• 正...正（n个）反：概率 1/2ⁿ⁺¹，赚 n 元。

所以期望值为：

$$\mathcal{E}(\{\mathrm{反},\mathrm{正}\mathrm{反},\dots \})=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{i}{2^{i+1}}}=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{i}{2^{i+1}}}$$

这是一个无穷级数的求和，考虑错位相减

$$\frac{\mathcal{E}}{2}=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{i}{2^{i+2}}}=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{i-1}{2^{i+1}}}$$

$$\mathcal{E}-\frac{\mathcal{E}}{2}=\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2^{i+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

$$\mathcal{E}=1$$

定理 1.1：期望具有可数乘性、可乘性。即

$$\mathcal{E}(\{a\};C,1)=C$$

$$\mathcal{E}(A;k\times V,P)=k\times \mathcal{E}(A;V,P)$$

$$\mathcal{E}(A_1\times A_2;V_1\times V_2,P_1\times P_2)=\mathcal{E}(A_1;V_1,P_1)\times \mathcal{E}(A_2;V_2,P_2)$$

$$\mathcal{E}(A_1+A_2;V_1+V_2,P_1+P_2)=\mathcal{E}(A_1;V_1,P_1)+\mathcal{E}(A_2;V_2,P_2)$$

。定义 1.1

期望 DP

Problem 1: [https://atcoder.jp/contests/abc280/tasks/abc280_e](ABC 280 E)
题意：设有一序列 $a$ 满足 $a_0=n$，有

• $p\mathrm{\%}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-2$
• $(100-p)\mathrm{\%}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-1$

求 $a$ 的大于零部分的期望长度。时间复杂度要求 $\mathcal{O}(n)$。

设函数 $f(x)$ 表示 $a_0=x$ 的大于零部分的期望长度。
注意到首先去掉 $a_0$，把 $a_1$ 当作 $a_0^{\prime }$，则有 $f(a_0)=1+f(a_1)$。
考虑到 $a_1=\{\begin{array}{cc}{a}_0-2& p\mathrm{\%}\\ a_0-1& (100-p)\mathrm{\%}\end{array}$，有 $f(x)=1+p\mathrm{\%}f(x-2)+(1-p\mathrm{\%})f(x-1)$。
动态规划即可。

Problem 2: Problem 1 变体
题意：设有一序列 $a$ 满足 $a_0=n$，有

• $p\mathrm{\%}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-0$
• $(100-p)\mathrm{\%}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-1$

求 $a$ 的大于零部分的期望长度。时间复杂度要求 $\mathcal{O}(n)$。
同样设函数 $f(x)$，得到 $f(x)=1+p\mathrm{\%}f(x)+(100-p)\mathrm{\%}f(x-1)$，解方程得到 $f(x)=f(x-1)+{\displaystyle \frac{100}{100-p}}$。（显然又有 $f(x)=x\times {\displaystyle \frac{100}{100-p}}$）

Problem 3: Problem 1 变体
题意：设有一序列 $a$ 满足 $a_0=n$，有

• ${\displaystyle \frac{1}{m}}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-1$
• ${\displaystyle \frac{1}{m}}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-2$
• ...
• ${\displaystyle \frac{1}{m}}$ 的概率 $a_{i+1}=a_i-m$

求 $a$ 的大于零部分的期望长度。保证 $\sum p=100$、时间复杂度要求 $\mathcal{O}(n)$。
同样设 $f(x)$，得到柿子：

$$f(x)=1+\sum _{i=1}^{m}f(x-i){\displaystyle \frac{1}{m}}$$

$$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i\in [x-1,x-m]}f(i)$$

$$f(x)=1+{\displaystyle \frac{1}{m}}(Q(x-1)-Q(x-m-1))$$

，其中 $Q$ 是前缀和数组。
代码差不多就是这样的：

Z f[N], Q_[N * 2];
Z *Q = Q_ + N;
int main() {
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		f[i] = 1 + (Q[i - 1] - Q[i - m]) / m;
		Q[i] = Q[i + 1] + f[i];
	}
	cout << f[n] << endl;
}
/*
* 有可能 i - m < 0，所以进行下标负数化处理。
*/

Problem 4: ABC 271 G
设数组 $p$ 满足 $p$ 是 T 或 A 访问的概率。则一天内不访问的概率是：

$$D=\prod _{i=0}^{23}(1-p_i)$$

。
设函数 $f(x,y)$ 代表 $x:00$ 访问了 $y$ 次，

$$E={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\int }_x^{+\mathrm{\infty }}P(y)\mathbf{d}y\mathbf{d}x$$

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本文作者：lhx-OIer
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