数学分析小论

为什么 0.999... = 1？

Proof 1

套用“十进制循环小数定义”：

$${\mathbb{Q}}^{\sim }=\{{\displaystyle \frac{S+\sum _{i=1}^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{a_{(i-1)modk+1}}{{10}^i}}}{{10}^u}}\mid S,k,u\in \mathbb{Z},a\in \bigcup _{i\in {\mathbb{N}}^{+}}\{0,1,2,\dots ,9{\}}^i\}$$

，其对 $\mathbb{Q}$ 的映射为：

$$T(S,k,u,a)={\displaystyle \frac{S+{\displaystyle \frac{\sum _{i=0}^{k-1}{a}_{k-i}{10}^i}{{10}^k-1}}}{{10}^u}}$$

，比如 $1$，视作 $1.000\dots$，得到 $S=1;k=1;u=0;a=[0]$，带入得 $1.000\cdots =1$。
于是带入 $0.999\dots$，得到 $S=0;k=1;u=0;a=[9]$，带入得 $0.999\cdots =1$。
$◻$

Proof 2

使用收敛列解决问题。
$0.999\cdots =0.9,0.99,0.999,\dots$，设 $N(ϵ)={\displaystyle \frac{1}{ϵ}}$，因为该收敛列的任意一项都是 $<1$ 的，所以 $T=|S-1|=0.1,0.01,0.001$，$T\downarrow$。
$T_{N(ϵ)}={\displaystyle \frac{1}{{10}^{\frac{1}{ϵ}}}}<{\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{ϵ}}}=ϵ$。
（当 $ϵ>1$ 时显然，因为 $T0.1$-near $0$）
$◻$

0/0 究竟怎么算

极限-导数法则的证明（洛必达法则）
定义 $f_{+}(x)=f(x)$，但是 $f_{+}(x_0)=0$，$g,g_{+}$ 同理。
考虑使用导数中值定理。设 $ϵ$。
$f(x)$ 在去心邻域上有可导，于是分类讨论

• 左极限
  $f_{+}$ 在 $[x,x+ϵ]$ 上可导，于是存在 $\xi$ 满足 ${\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}={\displaystyle \frac{f(x+ϵ)}{g(x+ϵ)}}$。
  当 $ϵ$ 增加时 $\xi$ 趋于 $0$，所以可以求导
• 右极限
  同理。

山脚函数到底怎么定义？

将 $e^x$ 级数定义。

那些高中时背过的导数

孔乙只因：“$\mathbb{R}$ 有四种定义”

连续？可导？处处连续处处不可导？

二分法为什么能找到零点？

几何 $\subset$ 集合

泰勒展开的正确性

$min,max,sup,inf$

$\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty },\perp \}$

凸轮尽在手中

婆利亚（Polya）定理？