摘要：
设 \(d=\gcd(n,m)\)，得在同一天一起玩的男生女生的编号一定在$\bmod d$ 的意义下相等，那么男生女生的编号按$\bmod d$ 的值分组，考虑每一组的答案，取 \(\max\) 即为所求。 由裴蜀定理得，每组只要有一个人快乐，那么最后组内所有人都会快乐。根据抽屉定理，当 \(d> 阅读全文
摘要：
先只考虑根节点是否合法。发现两个来自不同子树的点可以消去，那么只需判定所有点能否两两消去，使心停留在根节点即可。 发现其可以转化为一个模型：有若干个集合，每个集合内有若干个点，每次可以消去两个来自不同集合的点。设集合点数总和为 \(sum\)，最大集合点数为 \(\max\)，得： \(sum-\m 阅读全文
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先转化为总方案数减去每个子串都大于等于 \(S\) 的方案数。 设 \(T\) 为所统计的字符串。对 \(S\) 构建 \(kmp\) 自动机，自动机上的每个节点只保留转移到根节点和转移到 \(\text{next}\) 链上字符最大的节点两种转移路径，因为如果 \(T\) 在匹配时不走最大的字符， 阅读全文
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不难发现题目中的每个限制可以进行转化： \[ \large \max_{i=l}^r\{ h_i\}=m \Leftrightarrow \forall i \in [l,r],h_i \leqslant m \and \exist i \in[l,r],h_i=m \] 求出每个位置的上界，得 \ 阅读全文
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只需考虑每次加入后答案的增量，即增加的子串的答案。 发现有贡献的子串为 $\text{border}$，那么每次就只需维护 $\text{border}$ 集合的变化。若子串 $[1,pos]$ 为子串 $[1,i]$ 的一个 $\text{border}$，则 $s_{pos+1}=s_{i+1} 阅读全文
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Codeforces Round #594 (Div. 1) A 考虑只有一行且第一个格子为白色时，每次可以填连续相同颜色的一个或两个格子，因此其方案数为斐波那契数列，因为还有黑色，还需乘 $2$。一行确定后，其下一行必须填反色的情况，除非当前行为黑白相间的情况。第一行黑白相间时，对于列的确定也就是 阅读全文
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发现最优情况一定是一直向一个方向走或先走一段后再回来往回走一段。向左和向右是一样的，只需翻转就能转化为同一个问题了。 考虑枚举走的区间，设走完整个区间后的剩余天数为 \(k\)，那么对于该区间的最优答案一定是参观区间内权值前 \(k\) 大的城市，用主席树实现可以做到 \(O(n^2 \log n) 阅读全文
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\(p^\alpha \mid \binom{n}{k}\) 即为 \(\binom{n}{k}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次 \(\geqslant \alpha\)。根据库默尔定理，\(\binom{n}{k}\) 中 \(p\) 的幂次即为 \(n-k\) 加上 \(k\) 在 \(p 阅读全文
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发现题目所求即为最晚达到出现次数的整数的期望次数，考虑 \(\text{min-max}\) 容斥，将其转化为最早达到出现次数的整数的期望次数： \[ \large E(\max(S) )=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T)) \] 设集合 \(T=\{ 阅读全文
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定理 \(\binom{n+m}{m}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次为 \(n+m\) 在 \(p\) 进制下的进位次数。其中 \(p\) 为质数。 证明 因为 \(\binom{n+m}{m}\) 等于 \(\frac{(n+m)!}{n!m!}\)，所以 \(\binom{n+m}{m} 阅读全文
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设 \(f(S)\) 为点集 \(S\) 中强连通生成子图的方案数，\(cnt(S)\) 为点集 \(S\) 构成的诱导子图中边的个数。考虑用 $2^{cnt(S)}$ 减去不合法方案数来计算 \(f(S)\)，不合法情况即为缩点后为 \(DAG\)。 设 \(h(S)\) 为点集 \(S\) 缩点 阅读全文
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若两点间的路径上出现了环，则该环可以贡献给答案，因为可以从起点到环上一点来回跑 \(m\) 次，然后再跑环的贡献。 因为每个环都可以起任意倍数的贡献，所以由裴蜀定理得，所有环的总贡献为所有环的权值和的 \(\gcd\) 的任意倍数，图是无向图，因此每条边都可以看作是一个环。 可以用带权并查集维护出每 阅读全文
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考虑用 \(\text{SG}\) 函数来解决本题，因为降低一个点的点权后，可以任意修改该点的后继节点的点权，所以一个状态可以到达的状态是有无穷多个的。 设 \(w_k\) 为 \(k\) 阶无穷大。若一个节点没有出边，则其 \(\text{SG}\) 值为 \(w_0\)。对于无穷大，\(\tex 阅读全文
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发现本题为公平组合游戏，考虑用 \(\text{SG}\) 函数来解决。 对于翻硬币游戏，一个状态的 \(\text{SG}\) 值为当前状态的每个正面朝上的硬币单一存在时的 \(\text{SG}\) 值的异或和。 可以用归纳法得到位置 \((x,y)\) 的 \(\text{SG}\) 值： \ 阅读全文
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发现行数比较大，列数比较小，考虑用线段树来维护行的情况，记录列对应的信息。 设 \(f_{i,j}\) 在当前线段树节点维护的区间，从上边界 \(i\) 位置到下边界 \(j\) 位置的最小花费，为方便合并，实际处理的为跨过了下边界的最小花费。 每次像 \(Floyd\) 一样合并的复杂度为 \(O 阅读全文
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考虑每个点 \(x\) 对答案的贡献，即总方案数减去不合法方案数，得： \[ \large\begin{aligned} f_i&=\sum_{x=1}^n\left(\binom{n}{i}-\sum_{\exists e(x,y)} \binom{size_y}{i}\right) \\ &=n 阅读全文
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题意为给定 $n$ 个点的树，每个节点为一个物品，有体积和价值，选物品必须满足不相邻，即选出一个独立集，求对于 $\forall i \in [1,m]$，容量为 $i$ 时的背包最大价值的方案数。 $1 \leqslant n \leqslant 50,1 \leqslant m \leqslan 阅读全文
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考虑若连通块必须包含 \(x\)，那么就对以 \(x\) 为根的有根树做树形背包。 设 \(f_{i,j}\) 为考虑了 \(dfs\) 序中 \([i,n]\) 对应的节点，体积为 \(j\) 的最大价值。转移分两种情况：一个是选 \(i\) 对应的节点，然后对该节点的物品跑多重背包，我这里用的是 阅读全文
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发现本题为公平组合游戏，因此考虑用 \(\text{SG}\) 函数来解决。 设 \(\text{SG}(x)\) 为以 \(x\) 为根的子树的 \(\text{SG}\) 值。对于点 \(x\)，可以枚举其子树内的每一个白点，删去该点到 \(x\) 的所有点，然后以 \(x\) 为根的子树会分裂 阅读全文
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卢卡斯定理 \[ \large\binom{n}{m}\equiv\binom{n \bmod p}{m\bmod p}\binom{\frac{n}{p}}{\frac{m}{p}} \pmod{p} \] 其中 \(p\) 为质数。即将 \(n,m\) 用 \(p\) 进制来表示。预处理阶乘后复 阅读全文
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考虑将每个点的横纵坐标看作点，将原先在坐标系上的点看作边，那么题目的要求即为将新图中的每条边定向后，每个点的入度出度的差的绝对值不大于 $1$。 因为度数为奇数的点的个数一定为偶数，所以可以将度数为奇数的点两两配对，在两点之间连一条边。这样每个点度数就都为偶数了，然后可以用欧拉回路来给每条边定向。每 阅读全文
摘要：
设 \(cnt(x)\) 为 \(x\) 质因数分解后质因数的指数和，即将 \(x\) 不断除其一个约数来使其变为 $1$ 所需的次数，其可以通过线性筛来预处理。 不难发现： \[ \large d(a_i,a_j)=cnt(a_i)+cnt(a_j)-2cnt(\gcd(a_i,a_j)) \] 阅读全文
摘要：
考虑一个节点成为根节点后，如何判断其为最优的。 若最长距离的路径中的任意一条满足两个端点在当前根节点的两个不同的儿子中，则当前根节点为最优的。因为若将其调整为不在该路径上的点，最长路径的值会变大，将其调整为该路径上别的点，可能会产生更长的路径，因此该根节点为最优的。 若存在两条最长距离的路径的端点不 阅读全文
摘要：
定义 公平组合游戏： 完全信息，所有游戏者都能看到整个局势。 无随机行动。所有行动都确定性地将目前局势转变到下一个局势。 在有限步行动之后按照规则游戏必将终止，此时有唯一的一方成为赢家。 必胜状态：双方都采取最优决策下，位于当前状态的必胜。 必败状态：双方都采取最优决策下，位于当前状态的必败。 可以 阅读全文
摘要：
不难发现 \(\vee 1\) 和 \(\wedge 0\) 是会影响到最终结果的，相当于赋值操作，而 \(\wedge 1\) 和 \(\vee 0\) 是无法对结果产生影响的。当某一位最终的结果是 $1$ 时，最后一个能产生影响的操作必须是 \(\vee 1\)，当最终的结果是 $0$ 时，最后 阅读全文