摘要：
这道题因为要求价值最大值，所以正方形应尽可能多覆盖目标，因此所得的正方形四个顶点一定在格点上。 经过分析后，我们就可以知道，该题做法就是用二维前缀和进行事前预处理，然后一个一个枚举每个点覆盖到的总价值。 注意点： 1.为了防止被xi=0和yi=0的情况坑和方便进行前缀和优化处理，我们可以将每个点的坐 阅读全文
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四边形不等式 二维 优化形如 \(f_{l,r}=\min\limits_{k=l}^{r-1} \{f_{l,k}+f_{k+1,r}+w_{l,r}\}\) 的 \(DP\) 方程，如石子合并问题。其直接做复杂度是 \(O(n^3)\) 的。 若 \(w\) 满足： 四边形不等式（交叉小于包含） 阅读全文
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自适应辛普森法通过$Simpson$公式，用二次函数来拟合，实现时用二分递归来自动控制区间分割的大小，既保证精度，又保证速度 $Simpson$公式推导 \(\int_a^bf(x)dx\) \(\approx\int_a^bAx^2+Bx+C\) \(=\frac{A}{3}(b^3-a^3)+\ 阅读全文
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$K-D\ Tree$是一种可以高效处理$k$维空间信息的数据结构 $K-D\ Tree$具有二叉搜索树的形态，二叉搜索树上的每个结点都对应$k$维空间内的一个点。其每个子树中的点都在一个$k$维的超长方体内，这个超长方体内的所有点也都在这个子树中 同时用$ma$和$mi$来记录划分出的子空间的边界 阅读全文
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笛卡尔树是一棵二叉树，每个节点的编号满足二叉搜索树的性质，即二叉树的中序遍历是原数列，每个节点的权值满足堆的性质，也就是说，$Treap$就是笛卡尔树 在笛卡尔树上两个点的$LCA$就是这一区间的最值 用增量法来建树，维护一个单调栈，栈内元素为右子树链 因为每个节点最多进栈出栈一次，所以时间复杂度是 阅读全文
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BSGS 求解 \(a^x \equiv b \pmod{p},a \bot p\)。 由欧拉定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a \bot m\) 得方程的解取值范围为 \([1,\varphi(m)]\)。 设 \(x=A \sqrt p - B,0 \ 阅读全文
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中国剩余定理 概念 求解关于 \(x\) 的一元线性同余方程组： \[ \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \dots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n}\end{cases} \] 阅读全文
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高斯消元用来求解线性方程组 构造增广矩阵，然后对增广矩阵消元 每次选取这一列绝对值最大的值作为主元，可以避免精度误差，如果发现这一列都为$0$，则方程无解 然后将主元系数化为$1$,矩阵化为上三角矩阵后，便可以回代求解 支持判是否多解 $code:$ 高斯消元还可以用来求逆矩阵 一个矩阵$A$若可以 阅读全文
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费马小定理 定理 若 \(p\) 为素数，得： \[ \large a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},a \bot p \] 证明 考虑对于 \(p-1\) 个数 \(a \bmod p,2a \bmod p,\dots,(p-1)a \bmod p\)，其中 \(a \bot p 阅读全文
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对于一个数论函数$f$，当$gcd(a,b)=1$时，$f(ab)=f(a)f(b)$，则称其为积性函数 对于一个数论函数$f$，若 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称其为完全积性函数 线性筛流程： ① 处理素数$p$ ② 处理$i \times p$ ，其中$i$是任意正整数，$p \nmid 阅读全文
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普通求逆元 $$ax≡1\ (mod\ p)$$ 其中$x$就是$a$在模$p$意义下的乘法逆元$(inv)$ $gcd(a,p)=1$时存在，即$a$在模$p$意义下有逆元的充要条件是$a,\ p$互质 计算等价于解方程$ax+bp=1$ 定义了剩余系中的除法$\frac{a}{b}≡a × in 阅读全文
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求$\sum_{x=0}^{n 1}\lfloor \frac{ax+b}{c} \rfloor$ 设$f(a,b,c,n)=\sum\limits_{x=0}^{n 1}\lfloor \frac{ax+b}{c} \rfloor$ 进行化简，得 $$ \begin{aligned} &f(a,b 阅读全文
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给定树上一些点集，处理和该点集有关的询问，通常这些询问需要用树形$DP$解决 若发现所有询问的点集总大小$\sum k\leqslant 10^5$，那么就可以考虑用虚树来解决 若原树为 若询问点为$1\ 2\ 3$，则虚树为 若询问点为$1\ 3\ 7\ 8$，则虚树为 构造出的虚树为询问点和询问 阅读全文
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用朱刘算法来实现 $code:$ 阅读全文
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概念 优化形如 \(f_i=\min/\max\{f_j+a_i×b_j+c_i+d_j\}\) 的 \(DP\) 方程，方程存在 \(i\) 与 \(j\) 相乘的项。 设存在两个决策点 \(j,k\)，且决策点 \(j\) 比决策点 \(k\) 更优，例如为取最小值时，得： \[ \large\ 阅读全文
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优化形如$f_i=min/max(f_i,f_j+val_i)(l_i\leqslant j\leqslant r_i)$ 的$DP$方程 如 "瑰丽华尔兹" 中$DP$方程为$f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i dx_,j dy}+dis_{i,j,i dx_,j dy})$ $co 阅读全文
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在一个树形数据结构上的每个节点都是一个树形数据结构 支持操作 ① 查询$k$在区间内的排名（通过线段树来合并区间来统计答案） ② 查询区间内排名为$k$的值（通过二分实现，用查询排名来$check$） ③ 修改某一位值上的数值（线段树单点修改，同时更新平衡树） ④ 查询$k$在区间内的前驱（通过线段 阅读全文
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$2 SAT$是一种特殊的逻辑判定问题 其为一串布尔变量，每个变量只能为真或假。要求对这些变量进行赋值，满足布尔方程 对每个变量，规定$x$为其$0$状态，$x+n$为其$1$状态 从$x$向$y$连一条有向边表示选了$x$后必须选$y$ 缩点后，若存在$x$和$x^\prime$在同一个强连通分量 阅读全文
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普通莫队 块大小取为$\sqrt n$ 询问排序时可选择按奇偶性排序 $code:$ 阅读全文
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单调递增：队内元素为递增 单调递减：队内元素为递减 队内可存储下标，也可存储元素 $code :$ 阅读全文
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单调递增栈：栈顶到栈底为递增，数据出栈的序列为单调递增序列 单调递减栈：栈顶到栈底为递减，数据出栈的序列为单调递减序列 栈内可存储下标，也可存储元素 $code :$ 阅读全文