2021 年 1月随笔档案 - lhm_liu

CF891E Lust

发表于 2021-01-29 22:26阅读：111评论：0推荐：0

摘要：若随机选择为第

x

$x$ 个数，得其对答案的贡献为：

\prod_{i \neq x} a_{i} = \prod_{i} a_{i} - (a_{x} - 1) \prod_{i \neq x} a_{i}

$\large \prod_{i\neq x}a_i=\prod_{i}a_i-(a_x-1)\prod_{i\neq x}a_i$ 设

b_{i}

$b_i$ 为第

i

$i$ 个数被选择的次数，考虑差分，得最终答案为： \[ \large 阅读全文 »

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线性代数

发表于 2021-01-29 21:07阅读：387评论：0推荐：0

摘要：特征向量和特征值概念对于一个线性变换，若一个向量经过这个线性变换后，只是拉伸或者压缩，并没有离开该向量张成的空间，则称这个向量为该线性变换的特征向量，其中特征向量拉伸或者压缩的比例称为特征值。有些线性变换不存在特征向量，如旋转。考虑一个线性变换

A

$A$ ，设

v

$v$ 为它的某个特征向量，阅读全文 »

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洛谷P4607 [SDOI2018] 反回文串

发表于 2021-01-27 12:43阅读：222评论：0推荐：0

摘要：设长度为

n

$n$ 字符集大小为

k

$k$ 的回文串的个数为

g (n) = k^{⌈ \frac{n}{2} ⌉}

$g(n)=k^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}$ ，回文串的每个循环位移都有贡献，但因为循环同构，直接算会算重。不难发现若一个回文串是由同一个串重复循环得到的，那么该串也为回文串，即若有回文阅读全文 »

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洛谷P4240 毒瘤之神的考验

发表于 2021-01-26 21:45阅读：107评论：0推荐：0

摘要：有一个结论：

φ (n m) = \frac{φ (n) φ (m) gcd (n, m)}{φ (gcd (n, m))}

$\varphi(nm)=\frac{\varphi(n)\varphi(m)\gcd(n,m)}{\varphi\left(\gcd(n,m)\right)}$ ，考虑证明： \[ \large\begin{aligned} \varphi(nm)&=\frac{\varphi(n) 阅读全文 »

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CF1060F Shrinking Tree

发表于 2021-01-26 20:18阅读：109评论：0推荐：0

摘要：考虑枚举每个点来计算答案，枚举到一个点时，将该点看作是树的根。设

f_{x, i}

$f_{x,i}$ 为在

x

$x$ 的子树内进行删边，只考虑后

i

$i$ 条边的编号分配，其余边任意分配，且根节点编号最后仍为

x

$x$ 的概率之和。得

x

$x$ 的最终答案为 \(\frac{f_{x,n-1}}{(n- 阅读全文 »

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洛谷P6783 [Ynoi2008] rrusq

发表于 2021-01-24 20:24阅读：253评论：0推荐：0

摘要：先将询问离线，从小到大扫描右端点并维护左端点的答案。让每个关键点在能覆盖它的矩形中编号最大一个有贡献，每次询问就是查询矩形对应的区间贡献和。每次右端点移动时，考虑新加入的矩形覆盖的点集，将该点集有贡献的位置修改为当前的右端点。这一过程可以用

K - D T r e e

$K-D\ Tree$ 来维护，暴力回收子树内的标记阅读全文 »

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CF1270H Number of Components

发表于 2021-01-24 19:53阅读：212评论：0推荐：0

摘要：不难发现连通块一定是连续的一段。考虑枚举连通块的右端点

p

$p$ ，要求

[1, p]

$[1,p]$ 和

[p + 1, n]

$[p+1,n]$ 之间没有连边，即 \(\min\limits_{1 \leqslant i \leqslant p} a_i > \max\limits_{p+1 \leqslant i \le 阅读全文 »

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洛谷P5644 [PKUWC2018] 猎人杀

发表于 2021-01-24 09:52阅读：169评论：0推荐：0

摘要：有个结论，原问题可以转化为每次开枪的概率中的分母不变，当射到一个已经死掉的猎人时，就继续开枪，不难发现这样射中第

i

$i$ 个人的概率和原问题一样，设

W = \sum_{i = 1}^{n} w_{i}

$W=\sum\limits_{i=1}^n w_i$ ，

T

$T$ 为已经死掉的猎人的

w_{i}

$w_i$ 的和，得： \[ \large\lef 阅读全文 »

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洛谷P1587 [NOI2016] 循环之美

发表于 2021-01-21 18:07阅读：152评论：0推荐：0

摘要：若

\frac{a}{b}

$\frac{a}{b}$ 为纯循环小数，设

l

$l$ 为其循环节长度，得：

\frac{a}{b} (k^{l} - 1) \in Z \Rightarrow k^{l} = 1 (\mod b) \Rightarrow k ⊥ b

$\large \frac{a}{b}\left(k^l-1\right) \in\mathbb Z \Rightarrow k^l=1 \pmod{b} \Rightarrow k \perp b$ 所阅读全文 »

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洛谷P4466 [国家集训队] 和与积

发表于 2021-01-20 16:51阅读：413评论：0推荐：0

摘要：所求即为：

\sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = a + 1}^{n} [a + b ∣ a b]

$\large \sum_{a=1}^n\sum_{b=a+1}^n\left[ a+b \mid ab \right]$ 设

gcd (a, b) = d, a = i d, b = j d

$\gcd(a,b)=d,a=id,b=jd$ ，得： \[ \large\begin{aligned} d(i+j)&\mid ijd^2\\ (i 阅读全文 »

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集合幂级数杂题

发表于 2021-01-16 22:14阅读：512评论：2推荐：2

摘要：CF582E Boolean Function 四元组

(A, B, C, D)

$(A,B,C,D)$ 的情况只有

16

$16$ 种，将每种情况的函数值进行状压，在表达式建出的二叉树上进行

D P

$DP$ ，合并子树为对应的卷积。链接 CF449D Jzzhu and Numbers 先做集合交卷积的莫比乌斯变换，然后快阅读全文 »

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二次剩余

发表于 2021-01-13 21:41阅读：208评论：0推荐：0

摘要：概念若

n

$n$ 不是

p

$p$ 的倍数且在模

p

$p$ 的意义下和某个数的平方同余，则称

n

$n$ 为模

p

$p$ 的二次剩余，否则称

n

$n$ 为模

p

$p$ 的非二次剩余。求解二次剩余就是求解形如：

x^{2} \equiv n (\mod p)

$\large x^2 \equiv n \pmod{p}$ 的方程阅读全文 »

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概率生成函数

发表于 2021-01-13 09:45阅读：449评论：0推荐：1

摘要：概念若

X

$X$ 为非负整数集

N

$\mathbb{N}$ 上的离散随机变量，其满足

Pr (X = i) = a_{i}

$\text{Pr}(X=i)=a_i$ ，则称

a_{n} (n \in N)

$a_n\ (n \in \mathbb{N})$ 的生成函数为

X

$X$ 的概率生成函数，得： \[ \large F(z)=\mathbb E(z 阅读全文 »

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洛谷P6674 [CCO2019] Card Scoring

发表于 2021-01-08 21:10阅读：181评论：0推荐：1

摘要：考虑

D P

$DP$ ，设

f_{i}

$f_i$ 为考虑了前

i

$i$ 张牌的最大总分，

a_{i}

$a_i$ 为第

i

$i$ 张牌的种类，

s_{i}

$s_i$ 为前

i

$i$ 张牌和第

i

$i$ 张牌的种类相同的牌的个数，得转移为： \[ \large f_i=\max_{a_j=a_i}\left \{ f_{ 阅读全文 »

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洛谷P5979 [PA2014]Druzyny

发表于 2021-01-06 22:26阅读：202评论：0推荐：0

摘要：设

p r e_{i}

$pre_i$ 为只考虑

d

$d$ 的限制下能转移到

i

$i$ 的最小端点，发现

p r e_{i}

$pre_i$ 随着

i

$i$ 单调变化，因此可以通过单调队列求出

p r e_{i}

$pre_i$ 。然后就只用考虑

c

$c$ 的限制了，考虑分治，对于区间

[l, r]

$[l,r]$ ，设

c_{k}

$c_k$ 为该区间的最阅读全文 »

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洛谷P5592 美德的讲坛

发表于 2021-01-06 09:53阅读：231评论：0推荐：1

摘要：对于

x

$x$ ，存在

p

$p$ ，满足

2^{p} ⩽ x < 2^{p + 1}

$2^p \leqslant x < 2^{p+1}$ ，对于所有

a_{i}

$a_i$ 按

⌊ \frac{a_{i}}{2^{p}} ⌋

$\left\lfloor \frac{a_i}{2^p} \right\rfloor$ 的值分组，得每组内的两两异或值都

< x

$<x$ 。然后就只需考虑组与组之间阅读全文 »

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BZOJ4231 回忆树

发表于 2021-01-01 21:27阅读：183评论：0推荐：0

摘要：用

k m p

$kmp$ 暴力处理经过

l c a

$lca$ 的匹配，这一部分复杂度为

O (\sum | s |)

$O(\sum|s|)$ 。然后就只用考虑直上直下的链的匹配，离线后对询问串建

A C

$AC$ 自动机，在原树上遍历时加入贡献，答案差分统计，即长链的匹配减去短链的匹配，用树状数组维护

f a i l

$fail$ 树子树和即可。 #i 阅读全文 »

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lhm_liu

01 2021 档案

公告

lhm_

清歌欲遏行云住，露春纤、并坐调笙。

《高阳台·将反魏塘疏香女子亦以次日归吴下置酒话别离怀惘惘》 - 清代 - 郭麐

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