摘要：
\(p^\alpha \mid \binom{n}{k}\) 即为 \(\binom{n}{k}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次 \(\geqslant \alpha\)。根据库默尔定理，\(\binom{n}{k}\) 中 \(p\) 的幂次即为 \(n-k\) 加上 \(k\) 在 \(p 阅读全文
摘要：
发现题目所求即为最晚达到出现次数的整数的期望次数，考虑 \(\text{min-max}\) 容斥，将其转化为最早达到出现次数的整数的期望次数： \[ \large E(\max(S) )=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min(T)) \] 设集合 \(T=\{ 阅读全文
摘要：
定理 \(\binom{n+m}{m}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次为 \(n+m\) 在 \(p\) 进制下的进位次数。其中 \(p\) 为质数。 证明 因为 \(\binom{n+m}{m}\) 等于 \(\frac{(n+m)!}{n!m!}\)，所以 \(\binom{n+m}{m} 阅读全文