2020 年 8月随笔档案 - lhm_liu

题解洛谷 P3207 【[HNOI2010]物品调度】

发表于 2020-08-29 16:48阅读：231评论：0推荐：0

摘要：考虑题目所给出的式子：

p o s_{i} = (c_{i} + d x_{i} + y_{i}) mod n

$pos_i=(c_i+dx_i+y_i) \bmod n$ ，当

y_{i}

$y_i$ 一定时，随着

x_{i}

$x_i$ 的增大，得到的值会出现循环，即形成环。不难发现对于

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$ 的不同取值，

c_{i} + y_{i}

$c_i+y_i$ 可以看作对应一个环和该环的起始位置，

x_{i}

$x_i$ 阅读全文 »

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题解洛谷 P4654 【[CEOI2017]Mousetrap】

发表于 2020-08-28 10:26阅读：291评论：0推荐：0

摘要：为方便处理，把树看作有根树，将陷阱房作为树的根。先考虑一种特殊情况，老鼠起始房间和陷阱房是相邻的，即老鼠起始房间为根节点的一个儿子。一开始老鼠的决策是不可能向上走，其只可能一路向下沿最优路线到叶子节点，直到其无法行动。管理者的决策则是在老鼠向下走时堵住沿途的一些边，直到老鼠无法行动后，再堵住老鼠所阅读全文 »

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题解洛谷 P4203 【[NOI2008]糖果雨】

发表于 2020-08-27 08:27阅读：354评论：0推荐：1

摘要：发现任何时刻不会出现两片颜色相同的云朵，因此云朵的颜色是不用考虑的，询问即为区间内有多少个云朵。因为云朵的运动是在天空中往返的，具有周期性，且每个云朵运动速度都相同，所以可以用二元组

(t i m e, l e n t h)

$(time,lenth)$ 来表示一个云朵，

t i m e

$time$ 为该云朵左端点位于左边界时的时刻，即 \(t- 阅读全文 »

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题解 CF724E 【Goods transportation】

发表于 2020-08-24 19:16阅读：258评论：0推荐：0

摘要：先考虑一种网络流解法，从源点

S

$S$ 向每个点连容量为

p_{i}

$p_i$ 的边，每个点向汇点连容量为

s_{i}

$s_i$ 的边，每个点向编号比其大的点连容量为

c

$c$ 的边，该图的最大流即为答案。但是复杂度无法接受，考虑换一种思路，观察建出的图：发现这张图比较特殊，像最小割的模型，考虑将求最大阅读全文 »

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自然数幂和

发表于 2020-08-23 18:30阅读：2028评论：0推荐：11

摘要：形如

S_{k} (n) = \sum_{i = 0}^{n} i^{k}

$S_k(n)=\sum\limits_{i=0}^n i^k$ 的式子被称为自然数幂和。本文介绍了求自然数幂和的若干方法，其中包括斯特林数和伯努利数的一些应用，其中证明的推导过程也有一些推式子的技巧。扰动法应用两次扰动法，当

k ⩾ 1

$k \geqslant 1$ 时，得： \[ \l 阅读全文 »

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题解洛谷 P3735 【[HAOI2017]字符串】

发表于 2020-08-21 15:23阅读：368评论：0推荐：1

摘要：根据本题的定义，对于两个串，若

l c p + l c s + k ⩾ | s |

$lcp + lcs + k \geqslant | s |$ ，则这两个串形成了匹配。统计匹配次数考虑固定

l c p

$lcp$ 长度，来找合法的

l c s

$lcs$ 的个数。对所有模式串

p_{i}

$p_i$ 的正串和反串一起建出

A C

$AC$ 自动机，将询问挂在 \(p_i 阅读全文 »

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题解 CF1067D 【Computer Game】

发表于 2020-08-21 00:28阅读：291评论：0推荐：0

摘要：先考虑贪心，发现当升级后一定是一直选取

b p

$bp$ 最大，即期望收益最大的游戏，而升级前的选取要考虑升级的概率和当前选取的收益，所以考虑

D P

$DP$ 来解决升级前的选取。设

f_{t}

$f_t$ 为还剩

t

$t$ 秒且当前未成功升级的最大期望收益，

v

$v$ 为

b p

$bp$ 最大值，得： \[ 阅读全文 »

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题解 CF1063F 【String Journey】

发表于 2020-08-20 10:15阅读：141评论：0推荐：0

摘要：首先将字符串翻转，相应地，有序串组也就翻转了，即为求最长的长度递增的有序串组，满足第

i

$i$ 个串是第

i + 1

$i+1$ 个串的子串。进行贪心，发现最优秀情况下有序串组中的串长一定是逐渐加

1

$1$ 的，即长度为

1, 2, 3, \dots

$1,2,3,\dots$ ，因为可以对不是逐渐加

1

$1$ 的位置删去一些字符，来使之后阅读全文 »

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题解 CF997C 【Sky Full of Stars】

发表于 2020-08-18 21:59阅读：465评论：0推荐：0

摘要：直接求不好求，考虑用总方案数减去不合法方案数。设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 为至少有

i

$i$ 行

j

$j$ 列颜色相同的方案数，设

g_{i, j}

$g_{i,j}$ 为恰好有

i

$i$ 行

j

$j$ 列颜色相同的方案数，得： \[ \large f(x,y)=\sum_{i=x}^n\sum_{j=y 阅读全文 »

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模拟退火

发表于 2020-08-17 21:43阅读：230评论：0推荐：0

摘要：概念模拟退火是随机化算法，可以用来解决一类不是单峰函数的问题。其优于爬山算法的原因是其能通过接受当前最优解附近的非最优解，来跳出局部最优解。对于新状态得到的解，若其更优则更新答案，否则以一定概率来判断是否接受新状态。设温度为

T

$T$ ，新状态和当前状态的能量差为 \(\Delta E(\D 阅读全文 »

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题解洛谷 P4044 【[AHOI2014/JSOI2014]保龄球】

发表于 2020-08-17 21:12阅读：202评论：0推荐：0

摘要：

D P

$DP$ 来做的话会很麻烦，细节会很多，考虑乱搞一些的做法。

n

$n$ 很小，答案和排列顺序有关，所以考虑模拟退火来解决本题。产生新状态即为交换当前排列的两个位置。调参时可以采取降低退火次数，升高温度和降温系数来处理，这样正确性会高。 #include<bits/stdc++.h> #defi 阅读全文 »

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题解 CF232E 【Quick Tortoise】

发表于 2020-08-17 19:14阅读：200评论：0推荐：0

摘要：首先对所有询问进行离线处理，因为是网格图，所以考虑用分治来解决。对

[1, n]

$[1,n]$ 进行分治，对于区间

[l, r]

$[l,r]$ ，在

m i d

$mid$ 两侧的点对互相要到达一定会经过

m i d

$mid$ 所在的直线，因此每次处理出

f_{i, j, k}

$f_{i,j,k}$ 和

g_{i, j, k}

$g_{i,j,k}$ ，\(f_{i, 阅读全文 »

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题解 CF1093F 【Vasya and Array】

发表于 2020-08-17 16:35阅读：169评论：0推荐：0

摘要：考虑通过

D P

$DP$ 来解决本题。设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 为考虑了前

i

$i$ 个位置且第

i

$i$ 个位置为数字

j

$j$ 的方案数，

s_{i}

$s_i$ 为

\sum_{j = 1}^{k} f_{i, j}

$\sum\limits_{j=1}^k f_{i,j}$ ，

l_{i, j}

$l_{i,j}$ 为位置

i

$i$ 往前都是数字

j

$j$ 阅读全文 »

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威尔逊定理

发表于 2020-08-16 11:14阅读：777评论：1推荐：0

摘要：定理若

p

$p$ 为素数，得：

(p - 1)! \equiv - 1 (\mod p)

$\large (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

p

$p$ 为素数和威尔逊定理互为充分必要条件，即威尔逊定理可以用来判定一个数是否为素数。证明先同除

- 1

$-1$ ，即证明： \[ \large (p-2)! \equiv 1 \p 阅读全文 »

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整数划分

发表于 2020-08-13 22:43阅读：786评论：0推荐：2

摘要：划分为 k 个正整数设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 为把

i

$i$ 划分为

j

$j$ 个数的方案数，得：

f_{i, j} = f_{i - j, j} + f_{i - 1, j - 1}

$\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-1,j-1}$ 整体加

1

$1$ 和新划分

1

$1$ 。划分为不重复的 k 个正整数设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 为把 \ 阅读全文 »

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三元环

发表于 2020-08-13 13:29阅读：708评论：0推荐：0

摘要：对无向图的三元环计数。先对所有无向边定向，从度数小的点连向度数大的点，度数相同时，从编号小的点连向编号大的点。枚举每一个点

x

$x$ ，将其连出的点

y

$y$ 都打上

x

$x$ 的标记，再枚举点

y

$y$ 连出的点

z

$z$ ，若点

z

$z$ 有

x

$x$ 的标记，则 \((x,y,z) 阅读全文 »

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长链剖分

发表于 2020-08-13 11:09阅读：222评论：0推荐：0

摘要：概念长链剖分按深度剖分，重儿子为叶子最深的儿子。具体应用时可以通过指针记录信息，也可以优先遍历重儿子来

d f s

$dfs$ ，链上信息为一个在

d f s

$dfs$ 序上的连续区间，便于统计信息和将信息从重儿子合并过来。 void dfs_son(int x,int fa) { d[x]=dep[x]=d[f 阅读全文 »

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题解洛谷 P4292 【[WC2010]重建计划】

发表于 2020-08-12 21:44阅读：195评论：0推荐：0

摘要：先二分答案

m i d

$mid$ ，使得

\frac{⩾}{m} i d

$\frac \geqslant mid$ ，移项得:

v a l - t o t \times m i d ⩾ 0

$\large val - tot \times mid \geqslant 0$ 判定对每条边的边权都减去

m i d

$mid$ 后，是否存在一条边权和大于零的路径即可。考虑树形

D P

$DP$ ，设 \(f 阅读全文 »

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题解洛谷 P5299 【[PKUWC2018]Slay the Spire】

发表于 2020-08-11 17:40阅读：163评论：0推荐：0

摘要：先考虑有

m

$m$ 张牌，打

k

$k$ 张的最优策略。发现强化牌的效果至少是翻倍，所以最优策略一定是在至少打出一张攻击牌的前提下，尽可能的多打强化牌，强化牌数量不够时，再由大到小打攻击牌。设

F_{i, j}

$F_{i,j}$ 为选出

i

$i$ 张强化牌，打出

j

$j$ 张的效果， \(G_{i,j} 阅读全文 »

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题解 CF1188C 【Array Beauty】

发表于 2020-08-10 17:58阅读：115评论：0推荐：0

摘要：考虑对美丽值进行

D P

$DP$ 来统计答案，发现直接统计美丽值等于

v

$v$ 的子序列方案数不好统计，不妨统计美丽值大于等于

v

$v$ 的方案数。发现这样统计，美丽值为

v

$v$ 的一个子序列在区间

[1, v]

$[1,v]$ 都会有贡献，所以这样的合法子序列的方案数即为答案。先对

a

$a$ 进行阅读全文 »

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错误集

发表于 2020-08-10 16:11阅读：453评论：1推荐：1

摘要：数据结构线段树注意更新信息时，不要直接覆盖，可能覆盖掉更优的信息。[WC2010] 重建计划，CF1320C World of Darkraft: Battle for Azathoth（梅开二度）正确： if(l==r) { mx[cur]=max(mx[cur],v); return; } 阅读全文 »

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题解洛谷 P4230 【连环病原体】

发表于 2020-08-09 20:57阅读：196评论：0推荐：0

摘要：用双指针扫描来找环，加入

r

$r$ 位置的边后，若形成了环，就删去

l

$l$ 位置的边，直到环断掉，加边删边和判定连通性用

L C T

$LCT$ 维护即可。考虑如何计算环的贡献，对于区间

[l, r]

$[l,r]$ ，若其形成了环，则区间

[l, r + 1], [l, r + 2] \dots [l, m]

$[l,r+1],[l,r+2] \dots [l,m]$ 都形成阅读全文 »

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题解洛谷 P3642 【[APIO2016]烟火表演】

发表于 2020-08-06 21:44阅读：279评论：0推荐：0

摘要：设

f_{i} (x)

$f_i(x)$ 为以节点

i

$i$ 为根的子树都以时刻

x

$x$ 爆炸的最小代价，发现其为一个下凸的分段函数，即为一个下凸包。考虑一个节点加上其与父节点的边后函数的变化，设原函数的最小值为

f_{min}

$f_{\min}$ ，取到最小值的区间为

[l, r]

$[l,r]$ ，与父节点的边的边权为 \(v 阅读全文 »

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题解洛谷 P4425 【[HNOI/AHOI2018]转盘】

发表于 2020-08-06 19:54阅读：210评论：0推荐：0

摘要：发现最优解可以表示为在起点等待一段时间，然后不停顿地走完一圈。因为停顿的原因是当前的物品没有出现，所以可以在起点先等待，然后不停顿地来标记。对环倍长来将其转化为链，用

i

$i$ 来枚举起始位置，

j

$j$ 来枚举物品，则答案可表示为： \[ \min\limits_{i=1}^n\left \{ 阅读全文 »

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题解洛谷 P5492 【[PKUWC2018]随机算法】

发表于 2020-08-06 09:28阅读：241评论：1推荐：1

摘要：考虑到随机排列来加入点等效每次随机一个点，符合独立集的限制就加入当前点集，不符合就不加入。

n

$n$ 很小，考虑状压

D P

$DP$ ，设

f_{S}

$f_S$ 为得到点集

S

$S$ 内的点的最大独立集的概率，

s i z_{S}

$siz_S$ 为点集

S

$S$ 内的点的最大独立集的大小。

D P

$DP$ 时枚举点集 \ 阅读全文 »

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题解洛谷 P4705 【玩游戏】

发表于 2020-08-05 20:04阅读：184评论：1推荐：0

摘要：先化简答案的式子： \[ \large\begin{aligned} ans_k&=\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(a_i+b_j)^k \\ &=\frac{1}{nm}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{l=0}^k\binom{ 阅读全文 »

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题解洛谷 P4696 【[CEOI2011]Matching】

发表于 2020-08-04 07:57阅读：166评论：0推荐：0

摘要：题意即为在序列中找出给定排列能匹配相同的位置，这里的匹配相同指的是相对大小关系相同，即离散化后相同。因为是相对大小关系相同，所以只需考虑每个数所在的排名。可以对给定排列处理出

n u m_{i}

$num_i$ ，为位置

i

$i$ 之前小于位置

i

$i$ 对应的数的个数，发现对于序列，

n u m_{i}

$num_i$ 相同，阅读全文 »

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原根

发表于 2020-08-03 16:26阅读：253评论：0推荐：1

摘要：阶设

m > 1, a ⊥ m

$m > 1 , a \perp m$ ，使得

a^{n} \equiv 1 (\mod m)

$a^n \equiv 1 \pmod{m}$ 成立的最小的

n

$n$ 称为

a

$a$ 模

m

$m$ 的阶

δ_{m} (a)

$\delta_m(a)$ 。由欧拉定理

a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m)

$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ 得，阅读全文 »

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单位根反演

发表于 2020-08-02 21:34阅读：144评论：0推荐：0

摘要：单位根 \[ \large\begin{aligned} &\omega_n^k=e^{\frac{2\pi ik}{n}}=\cos\frac{2πk}{n}+i\sin\frac{2πk}{n} \\ &\omega_{n}^{n}=1 \\ &\omega_{2n}^{2k}=\omega_n 阅读全文 »

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题解洛谷 P4218 【[CTSC2010]珠宝商】

发表于 2020-08-02 11:57阅读：386评论：1推荐：2

摘要：首先对特征字符串建

S A M

$SAM$ ，来实现对子串的匹配。有一个

O (n^{2})

$O(n^2)$ 的暴力，分别以每个点为根进行

d f s

$dfs$ ，遍历树时记录当前字符串在

S A M

$SAM$ 上匹配到的节点即可。考虑用点分治来解决本题这样的树上路径统计问题。对于当前的分治重心

x

$x$ ，统计连通块中经过 \(x 阅读全文 »

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lhm_liu

08 2020 档案

公告

lhm_

清歌欲遏行云住，露春纤、并坐调笙。

《高阳台·将反魏塘疏香女子亦以次日归吴下置酒话别离怀惘惘》 - 清代 - 郭麐

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