2020 年 7月随笔档案 - lhm_liu

发表于 2020-07-31 10:09阅读：284评论：0推荐：1

摘要：因为是有标号计数，考虑用指数型生成函数来解决。设有标号荒漠的生成函数为

F (x)

$F(x)$ ，有标号仙人掌的生成函数为

f (x)

$f(x)$ ，因为荒漠是仙人掌所组成的集合，得：

F (x) = \exp (f (x))

$F(x) = \exp (f(x))$ 解决有标号仙人掌的计数问题后，就能解决有标号荒漠的计数问题。先在仙人掌上确定阅读全文 »

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题解洛谷 P5406 【[THUPC2019]找树】

发表于 2020-07-30 00:24阅读：144评论：0推荐：0

摘要：对于一种权值的生成树的存在性，可以将其转化为该权值的生成树个数的计数问题。先考虑运算若不是位运算，是加法的情况，要怎么处理。对于边权为

v

$v$ 的一条边，将其边权赋为

x^{v}

$x^v$ ，然后应用矩阵树定理，若所得行列式的第

i

$i$ 次项系数不为

0

$0$ ，即生成树个数不为

0

$0$ ，就说明存在边阅读全文 »

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题解洛谷 P3563 【[POI2013]POL-Polarization】

发表于 2020-07-29 19:47阅读：232评论：0推荐：0

摘要：先考虑最小值，因为树是二分图，所以可以进行黑白染色，将其分成左右部图，让左部图向右部图连边即可构造最小值，为

n - 1

$n-1$ 。对于最大值，最优情况一定是以一个点为中心，其各个子树内边的状态为要么该点能到达子树内的每个点，即外向，要么子树内的每个点能到达该点，即内向，且该点为树的重心。可以简单的进阅读全文 »

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题解洛谷 P6078 【[CEOI2004]糖果】

发表于 2020-07-29 08:40阅读：204评论：0推荐：0

摘要：对于至少

a

$a$ 个，不超过

b

$b$ 个的限制，可以先求出限制不超过

b

$b$ 个的方案数，然后减去限制不超过

a - 1

$a-1$ 个的方案数，即为答案。对第

i

$i$ 个糖果罐列出其的生成函数，得： \[ f_i(x)=\sum_{j=0}^{m_i} x^j = \frac{1-x^{ 阅读全文 »

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拉格朗日插值法

发表于 2020-07-28 16:13阅读：227评论：0推荐：0

摘要：给定

n

$n$ 个点，求

f (x)

$f(x)$ 由拉格朗日插值法得

f (x) = \sum_{i = 0}^{n} y_{i} \prod_{i \neq j} \frac{x - x_{j}}{x_{i} - x_{j}}

$f(x) = \sum_{i = 0}^{n} y_i \prod_{i \not = j} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$

c o d e :

$code :$ for(int i=1;i<=n;++i) { ll 阅读全文 »

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题解洛谷 P5405 【[CTS2019]氪金手游】

发表于 2020-07-28 08:32阅读：252评论：0推荐：1

摘要：先考虑外向树的情况，那么对于每个节点，该节点都是其子树内第一个抽到的。假设

W

$W$ 都已确定，

s u m

$sum$ 为所有

W

$W$ 的和，

s_{x}

$s_x$ 为

x

$x$ 子树内

W

$W$ 的和，得最终答案为： \[ \prod_{x=1}^n \frac{W_x}{sum} \sum_{i=0} 阅读全文 »

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题解洛谷 P4221 【[WC2018]州区划分】

发表于 2020-07-27 07:59阅读：216评论：0推荐：0

摘要：一个州不合法为其内部有欧拉回路，即图连通且每个点度数都为偶数。

n

$n$ 很小，考虑用状压

D P

$DP$ 解决本题，设

f_{S}

$f_S$ 为集合

S

$S$ 的答案，

g_{S}

$g_S$ 为集合

S

$S$ 的

w

$w$ 和的

p

$p$ 次方。得转移方程为： \[ f_S= \frac{1}{g_S 阅读全文 »

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题解 CF487E 【Tourists】

发表于 2020-07-25 11:38阅读：215评论：0推荐：0

摘要：若从

x

$x$ 到

y

$y$ 的任意一条路径经过了一个点双连通分量，则从

x

$x$ 到

y

$y$ 一定可以经过该点双连通分量中的每一个点。用广义圆方树来维护一般无向图，每个方点的权值为其相邻的圆点的权值的最小值，然后可以用树剖来修改和查询。但是这样修改的复杂度是不正确的，若一个圆点相邻有阅读全文 »

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题解洛谷 P3920 【[WC2014]紫荆花之恋】

发表于 2020-07-25 08:37阅读：326评论：0推荐：0

摘要：对于本题这样带修的树上路径问题，考虑用动态点分治来解决。将题目中给的式子变形得：

\begin{aligned} v a l_{x} + v a l_{y} ⩾ d i s_{x, y} \\ v a l_{y} ⩾ d i s_{x, y} - v a l_{x} \end{aligned}

$\begin{aligned} val_x + val_y \geqslant dis_{x,y} \\ val_y \geqslant dis_{x,y} - val_x \end{aligned}$ 对阅读全文 »

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题解洛谷 P5298 【[PKUWC2018]Minimax】

发表于 2020-07-23 10:04阅读：432评论：0推荐：1

摘要：首先发现每个叶子节点的权值都有可能成为最终根节点的权值，观察题目中给出的式子：

\sum_{i = 1}^{m} i V_{i} D_{i}^{2}

$\sum_{i=1}^m i V_i D_i^2$ 发现只要算出每个权值被根节点取到的概率

D_{i}

$D_i$ ，然后就能计算答案。设

f_{x, i}

$f_{x,i}$ 为节点

x

$x$ 取到第

i

$i$ 小权值的概率，阅读全文 »

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题解洛谷 P5311 【[Ynoi2011]成都七中】

发表于 2020-07-22 08:23阅读：244评论：0推荐：0

摘要：每次询问是关于

x

$x$ 所在的连通块，所以考虑用点分树来解决本题。点分树上每个节点所对应的子树，都是原树中的一个连通块。询问中给定

x

$x$ 和区间

[l, r]

$[l,r]$ ，其就已经确定了原树的一个连通块，所以可以在点分树上找到最大的一个子树包含该连通块，统计其内部合法点的个数即可。首先处理出阅读全文 »

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题解洛谷 P4189 【[CTSC2010]星际旅行】

发表于 2020-07-21 09:59阅读：249评论：0推荐：0

摘要：一个比较直接的想法就是对每个点进行拆点，拆成入点和出点，限制放在入点和出点相连的边上，然后跑最大费用最大流即可。但是这样复杂度无法接受，所以考虑模拟费用流来解决本题。发现

H

$H$ 都大于等于该节点的度数，所以从根节点出发，一定可以到达所有节点。先考虑以根节点为起点和终点的答案，首先可以遍历阅读全文 »

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题解洛谷 P4695 【[PA2017]Banany】

发表于 2020-07-20 19:17阅读：257评论：0推荐：0

摘要：考虑用动态点分治来解决像本题这样带修的树上路径问题。首先对原树进行点分治，建出点分树，在点分树每个节点上用动态开点线段树来维护以该节点为起点，到其点分树子树中每个节点的利润。查询时只需在点分树上当前所在节点往上跳父亲，在其到点分树根节点的链上的每个节点的线段树上查询。跳到一个节点时，在线段树上查阅读全文 »

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题解洛谷 P4694 【[PA2013]Raper】

发表于 2020-07-18 15:09阅读：286评论：0推荐：0

摘要：首先考虑题目的性质，不难发现光盘的花费是一个凸函数。当生产

0

$0$ 张光盘时，其花费为

0

$0$ ，随着光盘生产数的增加，最优情况肯定是先选择工厂便宜的时刻，所以花费会增长越来越快，因此其为一个下凸的凸函数。采用

W Q S

$WQS$ 二分来优化掉生产出

k

$k$ 张光盘的限制，然后可以通过二分图带权匹配阅读全文 »

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题解洛谷 P5465 【[PKUSC2018]星际穿越】

发表于 2020-07-17 22:06阅读：387评论：0推荐：1

摘要：首先考虑题目的性质，发现点向区间连的边为双向边，所以也就可以从一个点向右跳到区间包含该点的点，如图所示：但事实上向后跳其实是不优的，可以有更好的方法来节省花费：因此我们发现一个点跳到其前一个区间的花费为

1

$1$ ，且在跳跃过程中不会向右跳，同时我们还证明了一个点向左的花费单调递增。但是从起点进行阅读全文 »

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题解 CF585F 【Digits of Number Pi】

发表于 2020-07-15 07:45阅读：328评论：0推荐：0

摘要：考虑用数位

D P

$DP$ 来统计数字串个数，用

S A M

$SAM$ 来实现子串的匹配。设状态

f (p o s, c u r, l e n t h, l i m, f l a g)

$f(pos,cur,lenth,lim,flag)$ ，表示数位的位数，在

S A M

$SAM$ 上的节点，匹配的长度，是否有最高位限制，是否已经满足要求。在

d f s

$dfs$ 转移时，若当前节点能接着匹配枚举阅读全文 »

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题解洛谷 P3210 【[HNOI2010]取石头游戏】

发表于 2020-07-14 17:19阅读：242评论：0推荐：0

摘要：考虑到先手和后手都使用最优策略，所以可以像对抗搜索一样，设

v a l

$val$ 为先手收益减去后手收益的值。那么先手想让

v a l

$val$ 尽可能大，后手想让

v a l

$val$ 尽可能小。继续分析题目性质，发现取石子的过程可以转化为两端分别有一个栈，可以从栈顶取石子，中间有若干个双端队列，可以从其两端取石阅读全文 »

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题解洛谷 P5385 【[Cnoi2019]须臾幻境】

发表于 2020-07-13 20:34阅读：206评论：0推荐：0

摘要：首先我们知道

n

$n$ 个点的树有

n - 1

$n-1$ 条边，因此对于森林来说，其点数减边数即为树的个数。那么对于普通的图，求出其任意一个生成树森林，森林中树的个数即为原图中连通块的个数，也就是点数减边数。因此问题就转化为了如何快速求出一个图的生成树森林的边数。考虑用

L C T

$LCT$ 来维护原图的阅读全文 »

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回文树

发表于 2020-07-13 14:36阅读：957评论：0推荐：1

摘要：概念回文树可以用来处理一个字符串中所有的回文子串。一个串的本质不同回文子串个数最多为

n

$n$ 个。一个字符串的回文树由两棵树组成，一个维护所有长度为奇数的回文子串，一个维护所有长度为偶数的回文子串。树上除根节点外的每个节点都表示串中的一个回文子串。

l e n :

$len:$ 节点对应的回文子串长度。阅读全文 »

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题解洛谷 P3298 【[SDOI2013]泉】

发表于 2020-07-12 12:08阅读：165评论：0推荐：0

摘要：考虑到年份数很小，只有

6

$6$ ，所以可以

2^{6}

$2^6$ 来枚举子集，确定流量指数对应相同的位置，然后通过哈希和排序来计算相同的方案数。但是这样计算出的是大于等于子集元素个数的方案数，所以还需要通过容斥来得到恰好为

k

$k$ 的方案数。设子集元素个数为

i

$i$ ，相同个数恰好为

i

$i$ 的方案阅读全文 »

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题解洛谷 P2086 【[NOI2012]魔幻棋盘】

发表于 2020-07-10 10:55阅读：450评论：0推荐：0

摘要：先考虑只有一维的情况，要求支持区间加和求区间

gcd

$\gcd$ ，根据

gcd

$\gcd$ 的性质，发现：

gcd (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots a_{n}) = gcd (a_{i}, a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, \dots a_{n} - a_{n - 1})

$\gcd(a_1,a_2,a_3,\ldots a_n)=\gcd(a_i,a_2-a_1,a_3-a_2,\ldots a_n-a_{n-1})$ 其中

a_{i}

$a_i$ 为原序列 \( 阅读全文 »

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最小割树

发表于 2020-07-08 22:17阅读：219评论：0推荐：0

摘要：通过建最小割树

(G o m o r y - H u T r e e)

$(Gomory-Hu\ Tree)$ 来快速求解无向图中两点间的最小割。最小割树中的一条边的权值，为其两端点的最小割，那么任意两点之间的最小割即为路径上的最小值。通过递归建树即可。

c o d e :

$code:$ void build(int l,int r) { if(l==r) r 阅读全文 »

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题解洛谷 P5163 【WD与地图】

发表于 2020-07-07 22:32阅读：295评论：0推荐：0

摘要：首先将操作倒序，把删边转化为加边。先考虑若边是无向边，条件为连通，要怎么处理。可以用并查集来维护连通性，对每个连通块维护一颗权值线段树，连通块的合并用线段树合并来实现，线段树同时也支持了修改点权。然后再考虑对于有向边和强连通分量要怎么做。无向边的作用是使两个连通块成为一个连通块，有向边的作用是使阅读全文 »

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题解洛谷 P5324 【[BJOI2019]删数】

发表于 2020-07-06 23:54阅读：283评论：0推荐：0

摘要：先考虑对于一个序列，能使其可以删空的的修改次数。首先可以发现，序列的排列顺序是没有影响的，所以可以将所有数放到桶里来处理。尝试对一个没有经过修改的可以删空的序列来进行删数，一开始删去所有的

n

$n$ ，然后序列长度变为

x_{1}

$x_1$ ，删去所有的

x_{1}

$x_1$ ，然后序列长度变为

x_{2}

$x_2$ ，删去所有的

x_{2}

$x_2$ … 阅读全文 »

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lhm_liu

07 2020 档案

公告

lhm_

清歌欲遏行云住，露春纤、并坐调笙。

《高阳台·将反魏塘疏香女子亦以次日归吴下置酒话别离怀惘惘》 - 清代 - 郭麐

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