2020 年 1月随笔档案 - lhm_liu

题解洛谷 P4112 【[HEOI2015]最短不公共子串】

发表于 2020-01-31 20:30阅读：140评论：0推荐：0

摘要：给定两个字符串

A

$A$ 和

B

$B$ ，我们需要找出一个串，其在

A

$A$ 中出现且不在

B

$B$ 中出现，这个串为子串或者子序列，求在每种情况下，该串的最短长度。考虑到后缀自动机可以识别一个字符串的所有子串，序列自动机可以识别一个字符串的所有子序列。那么我们直接对

A

$A$ 和

B

$B$ 两个字符串建出相应的自动机，在两个自动阅读全文 »

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题解 CF938G 【Shortest Path Queries】

发表于 2020-01-27 12:39阅读：459评论：0推荐：0

摘要：题目让我们维护一个连通无向图，边有边权，支持加边删边和询问从

x

$x$ 到

y

$y$ 的异或最短路。考虑到有删边这样的撤销操作，那么用线段树分治来实现，用线段树来维护询问的时间轴。将每一条边的出现时间段标记到线段树上，表示在这一段询问中这条边存在。异或最短路的处理方法与 "最大XOR和路径" 类似，给线段阅读全文 »

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题解洛谷 P4546 【[THUWC2017]在美妙的数学王国中畅游】

发表于 2020-01-24 15:26阅读：304评论：0推荐：0

摘要：首先发现有连边和删边的操作，所以我们肯定要用

L C T

$LCT$ 来进行维护。接下来考虑如何进行

L C T

$LCT$ 上的信息合并。

f = 1

$f=1$ ,则函数为

f (x) = s i n (a x + b)

$f(x)=sin(ax+b)$

f = 2

$f=2$ ,则函数为

f (x) = e^{a x + b}

$f(x)=e^{ax+b}$

f = 3

$f=3$ ,则函数为

f (x) = a x + b

$f(x)=ax+b$ 这道题中的信息为这三个函数阅读全文 »

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整理

发表于 2020-01-22 22:45阅读：367评论：1推荐：0

摘要：学习计划 DP 插头DP 数据结构后缀平衡树树分块块状链表边分治图论哈密顿图平面图对偶图弦图线图区间图数学贝尔数拉格朗日四平方和定理字符串 runs 计算几何三角剖分平面最近点对随机增量法杂项舞蹈链回滚莫队悬线法在咕的博客支配树最小树形图圆方树 P 阅读全文 »

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北京八十中八天集训游记

发表于 2020-01-22 22:44阅读：309评论：0推荐：1

摘要：

D a y 0

$Day\ 0$ 上午鸽了，没有去学校，怕不是要被班主任暴捶下午坐高铁，通过换座和

y x t

$yxt$ 坐了一路北京地铁好挤，风很大，

d d y

$ddy$ 没有挤上来，好惨

w d

$wd$ 老师让我们吃便饭，去吃了麦当劳宿舍虽然是六人间，但环境很好，以及我们五个人分在了一个地方，和天津老哥分到了一个宿舍机房很棒，北京真好，阅读全文 »

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CSP-S 2019游记

发表于 2020-01-22 22:41阅读：322评论：0推荐：0

摘要：

D a y 1

$Day\ 1$ 上午模拟赛三个

题，那无敌的

z z z

$zzz$ 也挂了但

j z p

$jzp$ 依旧很稳，太强了，感觉他稳了我有点小慌，感觉自己好菜，昨天的简单题也没有看出来教练来说今天的题是针对四百分以上选手，感觉好多了（没那么自闭了）得知明天在火车上还要考模拟赛，惊了下午和晚上继续敲模板，树剖十五分钟一阅读全文 »

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南校五天集训游记

发表于 2020-01-22 22:40阅读：172评论：0推荐：0

摘要：住四人间，我爽了宿舍开灯有莫名的延迟？？？上床的梯子横杆很细，巨痛！！！

S P

$SP$

↗

$\nearrow$

F A

$FA$

↘

$\searrow$ 大家在宿舍里不断发~财~(

f a f a f a

$fafafa$ ) 饭菜很便宜，早饭六元，午饭晚饭八元（因为我们被归为了国庆留校生）山大附中和石门也来听，还有润德的一个小伙子，总共阅读全文 »

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南校十二天集训游记

发表于 2020-01-22 22:38阅读：239评论：0推荐：0

摘要：

D a y

$Day$

0

$0$ （下午入住）五点到达，发现不是预想的四人间，而是八人间~~集中营~~（但还好只有六位入住）匆匆地安置住宿后，便去录播教室自习刷题了。晚饭去办饭卡时，卡居然没了？？？只能明天中午再办。一晚上只搞出了一个题，感觉自己太弱了，但是发现lyj在和女朋友聊骚，感觉自己还行，挺努力。晚阅读全文 »

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题解洛谷 P2179 【[NOI2012]骑行川藏】

发表于 2020-01-22 22:37阅读：304评论：0推荐：0

摘要：题意为在满足

\sum_{i = 1}^{n} k_{i} (v_{i} v_{i}^{'})^{2} s_{i} ⩽ E_{U}

$\sum\limits_{i=1}^nk_i(v_i v_i^\prime)^2s_i\leqslant E_U$ 的条件下最小化

\sum_{i = 1}^{n} \frac{s_{i}}{v_{i}}

$\sum\limits_{i=1}^n\frac{s_i}{v_i}$ 先考虑贪心，因为最小化$\sum\limits_{i=1}^n\frac{s_i}{ 阅读全文 »

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题解 SP3734 【PERIODNI - Periodni】

发表于 2020-01-22 22:36阅读：390评论：0推荐：0

摘要：考虑用

D P

$DP$ 和组合数学来解决。因为原图像不规则的形状不好处理，所以先用笛卡尔树（性质为小根堆）将其划分成一个一个的矩形。发现在笛卡尔树上的每个节点都对应一个矩形，矩形高为

h_{x} h_{f a_{x}}

$h_x h_{fa_x}$ ，宽为

s i z e_{x}

$size_x$ 。结合笛卡尔树的性质，不难得到，红色矩形所对应的节点的两个儿子为绿色矩形阅读全文 »

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题解洛谷 P4177 【[CEOI2008]order】

发表于 2020-01-22 22:35阅读：284评论：0推荐：0

摘要：进行分析后，发现最大收益可以转化为最小代价，那么我们就可以考虑用最小割来解决这道题。先算出总收益

s u m

$sum$ ，总收益减去最小代价即为答案。然后考虑如何建图，如何建立最小割的模型。发现一个任务最终的处理只有两种情况： ① 不完成这个任务，那么我们需要支付

v a l

$val$ 的代价。 ② 完成这个任务，若任务阅读全文 »

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题解 CF613D 【Kingdom and its Cities】

发表于 2020-01-22 22:31阅读：237评论：0推荐：0

摘要：考虑树形

D P

$DP$ ，设

n u m_{x}

$num_x$ 记录的为当

1

$1$ 为根时，以

x

$x$ 为子树中重要城市的个数。那么进行分类讨论： ① 当

n u m_{x} \neq 0

$num_x≠0$ 时，则需将其所有满足

n u m_{y} \neq 0

$num_y≠0$ 的儿子

y

$y$ 删去。 ② 当

n u m_{x} = 0

$num_x=0$ 时，若满足

n u m_{y} \neq 0

$num_y≠0$ 的儿子

y

$y$ 个数

c n t = 1

$cnt=1$ ，则直接让

n u m

$num$ 进行阅读全文 »

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题解 UVA11865 【Stream My Contest】

发表于 2020-01-22 22:30阅读：188评论：0推荐：0

摘要：最小树形图（朱刘算法）

+

$+$ 二分答案。由题意得，我们要在一些有向边中选出一些边，使

0

$0$ 号节点能够到达其他节点，使距离之和

⩽ c o s t

$\leqslant cost$ ，并且使每条边中的带宽的最小值最大。为方便起见，我将

0 \sim n 1

$0 \sim n 1$ 号节点都

+ +

$++$ ，转为

1 \sim n

$1 \sim n$ 号节点。第一个要求用阅读全文 »

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题解洛谷 P2046 【[NOI2010]海拔】

发表于 2020-01-22 22:27阅读：210评论：0推荐：0

摘要：首先进行贪心，发现海拔有梯度时一定是不优的，最优的情况是海拔像断崖一样上升，也就是左上角有一片海拔高度为

0

$0$ ，右下角有一片海拔高度为

1

$1$ 。发现这样的性质后，不难想到用最小割来解决问题，但数据规模过大，需要进行优化。考虑到网格图是特殊的平面图，那么我们就将平面图转化为对偶图，通过对偶图求最短路阅读全文 »

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题解洛谷 P3571 【[POI2014]SUP-Supercomputer】

发表于 2020-01-22 22:26阅读：275评论：0推荐：0

摘要：由数据范围可得出，不可能一次一次去进行回答询问，只能离线处理，然后

O (1)

$O(1)$ 解决。考虑

D P

$DP$ 解决，先给出

D P

$DP$ 方程：

f_{i} = m a x (j + ⌈ \frac{s_{j + 1}}{i} ⌉)

$f_i=max(j+ \lceil \frac{s_{j+1}}{i} \rceil)$ (

f_{i}

$f_i$ 表示为当前一次操作最多访问

i

$i$ 个未访问的点的最小操作次数，

s_{i}

$s_i$ 阅读全文 »

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题解洛谷 P2254 【[NOI2005]瑰丽华尔兹】

发表于 2020-01-22 22:25阅读：138评论：0推荐：0

摘要：发现在同一时间段中，滑动的方向具有唯一性，所以不难得出

D P

$DP$ 方程。

f_{i, j} = m a x (f_{i, j}, f_{i d x_{,} j d y} + d i s_{i, j, i d x_{,} j d y})

$f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i dx_,j dy}+dis_{i,j,i dx_,j dy})$

(i, j)

$(i,j)$ 为坐标，

(i d x_{,} j d y)

$(i dx_,j dy)$ 为可以转移到

(i, j)

$(i,j)$ 的合法坐标，

d i s

$dis$ 为计算两个坐标阅读全文 »

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题解洛谷 P3825 【[NOI2017]游戏】

发表于 2020-01-22 22:22阅读：247评论：0推荐：0

摘要：从题面中四元组

(i, h_{i}, j, h_{j})

$(i,h_i,j,h_j)$ 限制选择车子型号，不难想到这题要用

2 S A T

$2 SAT$ 解决。考虑转化为

2 S A T

$2 SAT$ 模型，发现除地图

x

$x$ 外，其他地图都只有两种车子型号可以参加，那么就把这两种型号转化为两种状态。若

S_{i} = a

$S_i=a$ ，则状态为

B

$B$ 和

C

$C$ 。若

S_{i} = b

$S_i=b$ ，则状态为

A

$A$ 和阅读全文 »

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题解洛谷 P4171 【[JSOI2010]满汉全席】

发表于 2020-01-22 22:20阅读：209评论：0推荐：0

摘要：考虑

2 S A T

$2 SAT$ 。将汉式看作

0

$0$ 状态，满式看做

1

$1$ 状态，将每个材料拆成

01

$01$ 两个状态。从

a

$a$ 向

b

$b$ 连有向边表示的意义为选了

a

$a$ 后必须选

b

$b$ 。那么每次连边的方式如下：

a d d (x_{a \oplus 1}, y_{b}), a d d (y_{b \oplus 1}, x_{a})

$add(x_{a \oplus 1},y_b),add(y_{b \oplus 1},x_a)$ （

x_{a}

$x_a$ 和阅读全文 »

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题解 CF786B 【Legacy】

发表于 2020-01-22 22:19阅读：213评论：0推荐：0

摘要：本题要求我们支持三种操作： ① 点向点连边。 ② 点向区间连边。 ③ 区间向点连边。然后跑最短路得出答案。考虑使用线段树优化建图。建两颗线段树，入树和出树，每个节点为一段区间的原节点集合。入树内部为儿子向父亲连有向边，出树内部为父亲连有向边，因为入树和出树的叶子节点都为原图中的点，所以两棵树的阅读全文 »

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题解洛谷 P3521 【[POI2011]ROT-Tree Rotations】

发表于 2020-01-22 22:17阅读：132评论：0推荐：0

摘要：给定一棵二叉树，叶子节点有权值，可以进行若干次交换一个节点的左右儿子的操作，使前序遍历叶子的逆序对最少。考虑一个节点下子树逆序对的产生： ① 只在左子树中产生。 ② 只在右子树中产生。 ③ 在左子树和右子树中交叉产生。因为二叉树的性质，所以 ① ② 两种情况只需递归下去求解，只需考虑情况 ③ 。阅读全文 »

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题解洛谷 P1552 【[APIO2012]派遣】

发表于 2020-01-22 22:16阅读：164评论：0推荐：0

摘要：根据题意，我们不难发现忍者之间的关系是树形结构。发现答案的统计只是在该节点的子树中，因此我们考虑通过树形

D P

$DP$ 来解决问题。从叶子节点开始，从下往上考虑，因为一个节点的最优答案只与他的领导力和在子树中选了几个点有关，与选哪些点无关，所以我们要最大化选点的个数。贪心策略即为尽可能的多选点，当选出阅读全文 »

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题解 CF375D 【Tree and Queries】

发表于 2020-01-22 22:15阅读：211评论：0推荐：0

摘要：树上数颜色，因为是查询子树，所以用

d f n

$dfn$ 序将树上问题转化为序列问题，然后就是裸的莫队数颜色了。统计答案时还需注意一些细节问题，实现就看代码。时间复杂度为

O (n \sqrt{n})

$O(n\sqrt{n})$ 。

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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题解 CF51F 【Caterpillar】

发表于 2020-01-22 22:14阅读：311评论：0推荐：0

摘要：根据毛毛虫的定义，我们不难发现在双连通分量中的点我们都需要进行合并操作，所以我们先进行

t a r j a n

$tarjan$ 缩边双连通分量，使原图变成一棵树，缩点对答案产生的贡献为每个双连通分量的

s i z e - 1

$size-1$ 然后我们继续考虑树的情况，发现，若要将树变成毛毛虫，最优的操作是保留叶子节点和除去叶子后的直径，于是我们记录阅读全文 »

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题解 CF13E 【Holes】

发表于 2020-01-22 22:13阅读：225评论：0推荐：0

摘要：这个题和

P 3203

$P3203\$ 弹飞绵羊基本上完全一致我的做法是用

L C T

$LCT$ 维护信息，开一个节点

f l y

$fly$ ，表示到此节点时，小球会弹飞，那么查询弹多少次即为

s i z [f l y] 1

$siz[fly] 1$ 最后一次落在哪个洞可以用维护链上最大值来解决一些小细节看代码就行了

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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题解 SP1841 【PPATH - Prime Path】

发表于 2020-01-22 22:12阅读：309评论：0推荐：0

摘要：模拟赛考到了这个题，但我傻傻的用了

D F S

$DFS$ ，于是爆了零后来才想明白，因为搜索树的分支很多，但答案的深度却又没有那么深，所以在这里

B F S

$BFS$ ，而

D F S

$DFS$ 一路搜到底的做法则会稳稳地

T

$T$ 飞掉其他细节请看代码注释

c o d e :

$code:$ #include<bits/stdc++.h> #define 阅读全文 »

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题解 SP2713 【GSS4 - Can you answer these queries IV】

发表于 2020-01-22 22:11阅读：270评论：0推荐：0

摘要：用计算器算一算，就可以发现

10^{18}

$10^{18}$ 的数，被开方

6

$6$ 次后就变为了

1

$1$ 。所以我们可以直接暴力的进行区间修改，若这个数已经到达

1

$1$ ，则以后就不再修改（因为

1

$1$ 开方后还是

1

$1$ ），用并查集和树状数组进行维护。这个方法用了 "P2391 白雪皑皑" 的思想处理，用并查集标记该点已经不再用阅读全文 »

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题解 UVA501 【Black Box】

发表于 2020-01-22 22:10阅读：172评论：0推荐：0

摘要：思路与 "中位数" 一题，解决方案比较像，使用对顶堆来解决。具体实现为，使用两个堆，大根堆维护较小的值，小根堆维护较大的值，即小根堆的堆顶是较大的数中最小的，大根堆的堆顶是较小的数中最大的。将大于大根堆堆顶的数（比所有大根堆中的元素都大）的数放入小根堆，小于等于大根堆堆顶的数（比所有小根堆中的元阅读全文 »

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题解 CF920F 【SUM and REPLACE】

发表于 2020-01-22 22:09阅读：163评论：0推荐：0

摘要：可以事先打表观察每个数的约数个数，观察到如果进行替换，若干次后这个数便会被替换成1。所以我们可以直接暴力的进行区间修改，若这个数已经到达1或2，则以后就不再修改，用并查集和树状数组进行维护。这个方法用了P2391 白雪皑皑的思想处理，用并查集标记该点已经不再用替换。 code： #include 阅读全文 »

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题解洛谷 P2280 【[HNOI2003]激光炸弹】

发表于 2020-01-22 22:08阅读：164评论：0推荐：0

摘要：这道题因为要求价值最大值，所以正方形应尽可能多覆盖目标，因此所得的正方形四个顶点一定在格点上。经过分析后，我们就可以知道，该题做法就是用二维前缀和进行事前预处理，然后一个一个枚举每个点覆盖到的总价值。注意点： 1.为了防止被xi=0和yi=0的情况坑和方便进行前缀和优化处理，我们可以将每个点的坐阅读全文 »

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决策单调性

发表于 2020-01-22 22:06阅读：727评论：0推荐：0

摘要：四边形不等式二维优化形如

f_{l, r} = {min}_{k = l}^{r - 1} {f_{l, k} + f_{k + 1, r} + w_{l, r}}

$f_{l,r}=\min\limits_{k=l}^{r-1} \{f_{l,k}+f_{k+1,r}+w_{l,r}\}$ 的

D P

$DP$ 方程，如石子合并问题。其直接做复杂度是

O (n^{3})

$O(n^3)$ 的。若

w

$w$ 满足：四边形不等式（交叉小于包含）阅读全文 »

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自适应辛普森法

发表于 2020-01-22 22:04阅读：674评论：0推荐：0

摘要：自适应辛普森法通过

S i m p s o n

$Simpson$ 公式，用二次函数来拟合，实现时用二分递归来自动控制区间分割的大小，既保证精度，又保证速度

S i m p s o n

$Simpson$ 公式推导

\int_{a}^{b} f (x) d x

$\int_a^bf(x)dx$

\approx \int_{a}^{b} A x^{2} + B x + C

$\approx\int_a^bAx^2+Bx+C$ \(=\frac{A}{3}(b^3-a^3)+\ 阅读全文 »

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K-D Tree

发表于 2020-01-22 22:03阅读：425评论：0推荐：1

摘要：

K - D T r e e

$K-D\ Tree$ 是一种可以高效处理

k

$k$ 维空间信息的数据结构

K - D T r e e

$K-D\ Tree$ 具有二叉搜索树的形态，二叉搜索树上的每个结点都对应

k

$k$ 维空间内的一个点。其每个子树中的点都在一个

k

$k$ 维的超长方体内，这个超长方体内的所有点也都在这个子树中同时用

m a

$ma$ 和

m i

$mi$ 来记录划分出的子空间的边界阅读全文 »

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笛卡尔树

发表于 2020-01-22 22:02阅读：159评论：0推荐：0

摘要：笛卡尔树是一棵二叉树，每个节点的编号满足二叉搜索树的性质，即二叉树的中序遍历是原数列，每个节点的权值满足堆的性质，也就是说，

T r e a p

$Treap$ 就是笛卡尔树在笛卡尔树上两个点的

L C A

$LCA$ 就是这一区间的最值用增量法来建树，维护一个单调栈，栈内元素为右子树链因为每个节点最多进栈出栈一次，所以时间复杂度是阅读全文 »

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动态DP

发表于 2020-01-22 22:00阅读：124评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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BSGS

发表于 2020-01-22 21:59阅读：211评论：1推荐：0

摘要：BSGS 求解

a^{x} \equiv b (\mod p), a ⊥ p

$a^x \equiv b \pmod{p},a \bot p$ 。由欧拉定理

a^{φ (m)} \equiv 1 (\mod m), a ⊥ m

$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a \bot m$ 得方程的解取值范围为

[1, φ (m)]

$[1,\varphi(m)]$ 。设 \(x=A \sqrt p - B,0 \ 阅读全文 »

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Pollard-Rho

发表于 2020-01-22 21:58阅读：141评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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Miller-Rabin

发表于 2020-01-22 21:08阅读：218评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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中国剩余定理

发表于 2020-01-22 21:07阅读：248评论：0推荐：0

摘要：中国剩余定理概念求解关于

x

$x$ 的一元线性同余方程组：

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) \\ \dots \\ x \equiv a_{n} (\mod m_{n}) \end{cases}

$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \dots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n}\end{cases}$ 阅读全文 »

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高斯消元

发表于 2020-01-22 21:05阅读：240评论：0推荐：0

摘要：高斯消元用来求解线性方程组构造增广矩阵，然后对增广矩阵消元每次选取这一列绝对值最大的值作为主元，可以避免精度误差，如果发现这一列都为

0

$0$ ，则方程无解然后将主元系数化为

1

$1$ ,矩阵化为上三角矩阵后，便可以回代求解支持判是否多解

c o d e :

$code:$ 高斯消元还可以用来求逆矩阵一个矩阵

A

$A$ 若可以阅读全文 »

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欧拉定理

发表于 2020-01-22 21:04阅读：518评论：0推荐：0

摘要：费马小定理定理若

p

$p$ 为素数，得：

a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p), a ⊥ p

$\large a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},a \bot p$ 证明考虑对于

p - 1

$p-1$ 个数

a mod p, 2 a mod p, \dots, (p - 1) a mod p

$a \bmod p,2a \bmod p,\dots,(p-1)a \bmod p$ ，其中 \(a \bot p 阅读全文 »

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线性筛

发表于 2020-01-22 21:03阅读：131评论：0推荐：0

摘要：对于一个数论函数

f

$f$ ，当

g c d (a, b) = 1

$gcd(a,b)=1$ 时，

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ ，则称其为积性函数对于一个数论函数

f

$f$ ，若

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ ，则称其为完全积性函数线性筛流程： ① 处理素数

p

$p$ ② 处理

i \times p

$i \times p$ ，其中

i

$i$ 是任意正整数，$p \nmid 阅读全文 »

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乘法逆元

发表于 2020-01-22 21:02阅读：172评论：0推荐：0

摘要：普通求逆元

a x \equiv 1 (m o d p)

$ax≡1\ (mod\ p)$ 其中

x

$x$ 就是

a

$a$ 在模

p

$p$ 意义下的乘法逆元

(i n v)

$(inv)$

g c d (a, p) = 1

$gcd(a,p)=1$ 时存在，即

a

$a$ 在模

p

$p$ 意义下有逆元的充要条件是

a, p

$a,\ p$ 互质计算等价于解方程

a x + b p = 1

$ax+bp=1$ 定义了剩余系中的除法$\frac{a}{b}≡a × in 阅读全文 »

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类欧几里得算法

发表于 2020-01-22 21:01阅读：207评论：0推荐：0

摘要：求

\sum_{x = 0}^{n 1} ⌊ \frac{a x + b}{c} ⌋

$\sum_{x=0}^{n 1}\lfloor \frac{ax+b}{c} \rfloor$ 设

f (a, b, c, n) = \sum_{x = 0}^{n 1} ⌊ \frac{a x + b}{c} ⌋

$f(a,b,c,n)=\sum\limits_{x=0}^{n 1}\lfloor \frac{ax+b}{c} \rfloor$ 进行化简，得 $$ \begin{aligned} &f(a,b 阅读全文 »

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虚树

发表于 2020-01-22 20:58阅读：175评论：0推荐：0

摘要：给定树上一些点集，处理和该点集有关的询问，通常这些询问需要用树形

D P

$DP$ 解决若发现所有询问的点集总大小

\sum k ⩽ 10^{5}

$\sum k\leqslant 10^5$ ，那么就可以考虑用虚树来解决若原树为若询问点为

1 2 3

$1\ 2\ 3$ ，则虚树为若询问点为

1 3 7 8

$1\ 3\ 7\ 8$ ，则虚树为构造出的虚树为询问点和询问阅读全文 »

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最小树形图

发表于 2020-01-22 20:57阅读：119评论：0推荐：0

摘要：用朱刘算法来实现

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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分块

发表于 2020-01-22 20:56阅读：123评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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斜率优化

发表于 2020-01-22 20:55阅读：230评论：0推荐：0

摘要：概念优化形如

f_{i} = min / max {f_{j} + a_{i} \times b_{j} + c_{i} + d_{j}}

$f_i=\min/\max\{f_j+a_i×b_j+c_i+d_j\}$ 的

D P

$DP$ 方程，方程存在

i

$i$ 与

j

$j$ 相乘的项。设存在两个决策点

j, k

$j,k$ ，且决策点

j

$j$ 比决策点

k

$k$ 更优，例如为取最小值时，得： \[ \large\ 阅读全文 »

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单调队列优化DP

发表于 2020-01-22 20:54阅读：105评论：0推荐：0

摘要：优化形如

f_{i} = m i n / m a x (f_{i}, f_{j} + v a l_{i}) (l_{i} ⩽ j ⩽ r_{i})

$f_i=min/max(f_i,f_j+val_i)(l_i\leqslant j\leqslant r_i)$ 的

D P

$DP$ 方程如 "瑰丽华尔兹" 中

D P

$DP$ 方程为

f_{i, j} = m a x (f_{i, j}, f_{i d x_{,} j d y} + d i s_{i, j, i d x_{,} j d y})

$f_{i,j}=max(f_{i,j},f_{i dx_,j dy}+dis_{i,j,i dx_,j dy})$ $co 阅读全文 »

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树套树

发表于 2020-01-22 20:53阅读：201评论：0推荐：0

摘要：在一个树形数据结构上的每个节点都是一个树形数据结构支持操作 ① 查询

k

$k$ 在区间内的排名（通过线段树来合并区间来统计答案） ② 查询区间内排名为

k

$k$ 的值（通过二分实现，用查询排名来

c h e c k

$check$ ） ③ 修改某一位值上的数值（线段树单点修改，同时更新平衡树） ④ 查询

k

$k$ 在区间内的前驱（通过线段阅读全文 »

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2-SAT

发表于 2020-01-22 20:51阅读：165评论：0推荐：0

摘要：

2 S A T

$2 SAT$ 是一种特殊的逻辑判定问题其为一串布尔变量，每个变量只能为真或假。要求对这些变量进行赋值，满足布尔方程对每个变量，规定

x

$x$ 为其

0

$0$ 状态，

x + n

$x+n$ 为其

1

$1$ 状态从

x

$x$ 向

y

$y$ 连一条有向边表示选了

x

$x$ 后必须选

y

$y$ 缩点后，若存在

x

$x$ 和

x^{'}

$x^\prime$ 在同一个强连通分量阅读全文 »

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莫队

发表于 2020-01-22 20:50阅读：269评论：0推荐：0

摘要：普通莫队块大小取为

\sqrt{n}

$\sqrt n$ 询问排序时可选择按奇偶性排序

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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单调队列

发表于 2020-01-22 20:49阅读：175评论：0推荐：0

摘要：单调递增：队内元素为递增单调递减：队内元素为递减队内可存储下标，也可存储元素

c o d e :

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单调栈

发表于 2020-01-22 20:47阅读：128评论：0推荐：0

摘要：单调递增栈：栈顶到栈底为递增，数据出栈的序列为单调递增序列单调递减栈：栈顶到栈底为递减，数据出栈的序列为单调递减序列栈内可存储下标，也可存储元素

c o d e :

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CDQ分治

发表于 2020-01-22 20:46阅读：113评论：0推荐：0

摘要：通过分治来用一个子问题来计算对另一个子问题的贡献，先考虑前半部分，再考虑后半部分，再考虑前半部分对后半部分的影响处理修改独立，询问可离线的一类问题，对时间分治，用左边的修改处理右边的询问可以用来解决三维偏序问题 "陌上花开"

c o d e :

$code :$ cpp void cdq(int l,int r) 阅读全文 »

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左偏树

发表于 2020-01-22 20:45阅读：104评论：0推荐：0

摘要：左偏树可以用来维护可并堆（并查集加堆）可以用并查集一样的路径压缩来优化复杂度路径压缩后

f a

$fa$ 记录的就不为其原树中的父亲，而是用来表示堆与堆之间的关系

d i s :

$dis:$ 表示该节点到它子树内最近的叶子节点的距离节点的左儿子的距离不小于右儿子的距离，每次合并时，将一棵树合并到另一棵树的右子树，来保证复阅读全文 »

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扫描线

发表于 2020-01-22 20:44阅读：210评论：0推荐：0

摘要：将矩形分成上边和下边，用四元组

(l, r, h, k)

$(l,r,h,k)$ 来表示一条边，其中

k = 1

$k=1$ 时，其为下边，

k = 1

$k= 1$ 时，其为下边，扫描线从下往上扫，每次遇到一条上边或下边时，就停下来用线段树维护，线段树的每个区间即为

x

$x$ 轴上的区间，因数据过大，所以将

x

$x$ 轴上的点离散化处理，那么就可以通过线段树的区间合阅读全文 »

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凸包

发表于 2020-01-22 20:41阅读：161评论：0推荐：0

摘要：Graham算法先找出以

y

$y$ 值为第一关键字和以

x

$x$ 值为第二关键字最小的点，以其作为基准点然后对剩下的点进行极角序排序向栈中加点，并维护凸性，最终栈中的点即为凸包上的点复杂度即为排序的复杂度

O (n l o g n)

$O(n\ log\ n)$

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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后缀自动机

发表于 2020-01-22 20:40阅读：480评论：0推荐：1

摘要：概要后缀自动机可以理解为是将字符串所有后缀所建出的

T r i e

$Trie$ 进行压缩后得出的

D A G

$DAG$ 。对于一个子串

s

$s$ ，它结束位置的集合称为

endpos (s)

$\text{endpos}(s)$ ，如

a a a b b a a b

$aaabbaab$ ，\(\text{endpos}(ab)=\{4,8\},\text{en 阅读全文 »

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后缀数组

发表于 2020-01-22 20:39阅读：140评论：0推荐：0

摘要：将字符串每个后缀按照字典序排序

s a :

$sa:$ 表示排名为

i

$i$ 的后缀的起始位置

r k :

$rk:$ 表示起始位置为

i

$i$ 的后缀的排名

s a [r k [i]] = i, r k [s a [i]] = i

$sa[rk[i]]=i,\ rk[sa[i]]=i$ 通过倍增和基数排序来实现

O (n l o g n)

$O(n\ log\ n)$ 的排序基数排序时先排第一关键字，再在第一关键字相同下排第二关键字阅读全文 »

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快读快输

发表于 2020-01-22 20:37阅读：295评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code :$ 阅读全文 »

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可持久化平衡树

发表于 2020-01-22 20:35阅读：315评论：0推荐：0

摘要：因为

T r e a p

$Treap$ 只认儿子不认爸爸，所以方便复制，直接可持久化就行了

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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FHQ Treap

发表于 2020-01-22 20:34阅读：194评论：0推荐：0

摘要：

s p l i t :

$split:$ 将一棵

T r e a p

$Treap$ 按照某种划分标准分成

a

$a$ 和

b

$b$ 两棵

T r e a p

$Treap$

x

$x$ 和

y

$y$ 分别表示

a

$a$ 和

b

$b$ 的根划分后，

a

$a$ 中所有元素都

⩽ k

$\leqslant k$ ，

b

$b$ 中所有元素都

k

$k$ 权值分裂

c o d e :

$code:$ 排名分裂

c o d e :

$code:$

m e r g e :

$merge:$ 合并

x

$x$ 和

y

$y$ 阅读全文 »

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支配树

发表于 2020-01-22 20:33阅读：221评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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多项式

发表于 2020-01-22 20:32阅读：584评论：0推荐：0

摘要：形如

f (x) = a_{0} x^{0} + a_{1} x^{1} + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1}

$f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+ \dots +a_{n-1}x^{n-1}$ 。点值表示法:通过代入

n

$n$ 个不同的值

x_{0}, x_{1} \dots x_{n - 1}

$x_0,x_1 \dots x_{n-1}$ 到

f (x)

$f(x)$ 中，得到

y_{0}, y_{1} . . . y_{n - 1}

$y_0,y_1...y_{n-1}$ ，用 \((x 阅读全文 »

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组合数学

发表于 2020-01-22 20:31阅读：225评论：0推荐：0

摘要：排列数

A_{n}^{m} = n (n 1) (n 2) \cdot \cdot \cdot (n m + 1) = \frac{n!}{(n m)!}

$A^m_n=n(n 1)(n 2) \cdot\ \cdot\ \cdot(n m+1) =\frac{n!}{(n m)!}$ 组合数

C_{n}^{m} = C_{n 1}^{m} + C_{n 1}^{m 1}

$C^m_n=C^m_{n 1}+C^{m 1}_{n 1}$

C_{n}^{m} = C_{n}^{n m}

$C^m_n=C^{n m}_{n}$ $C^m_n=\frac{n}{m}×C^{m 阅读全文 »

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LCT

发表于 2020-01-22 20:30阅读：222评论：0推荐：0

摘要：

L i n k C u t T r e e

$Link\ Cut\ Tree$ （动态树）用实链剖分来实现，维护的对象为一个森林，将原树剖分为若干个辅助树，辅助树用

S p l a y

$Splay$ 来维护辅助树内部用实边连接，辅助树之间用虚边连接，虚边总是由一棵

S p l a y

$Splay$ 指向另一棵

S p l a y

$Splay$ 的根，即为其中序遍历的第一个点因为虚边是

S p l a y

$Splay$ 之间阅读全文 »

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点分治

发表于 2020-01-22 20:29阅读：229评论：0推荐：0

摘要：点分治用来处理树上路径问题，每一次将树分治为几棵子树，然后继续递归，得到答案每次分治时，子树的根选取为其的重心，递归的子树大小不会超过原树大小的一半，保证了时间复杂度为

O (n l o g n)

$O(n\ log\ n)$ 利用容斥原理统计答案树上有多少对点，满足两点间的距离小于等于

k

$k$

c o d e :

$code:$ void 阅读全文 »

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主席树

发表于 2020-01-22 20:25阅读：188评论：0推荐：0

摘要：主席树节点中维护的值，是

[x, y]

$[x,y]$ 之间这个区间内数字出现了的次数利用可持久化线段树的性质来进行查询，如查询区间

[2, 5]

$[2,5]$ ，即将版本五和版本一对应节点相减，即为

[2, 5]

$[2, 5]$ 内某个范围内的数字的个数对于一个区间

[l, r]

$[l, r]$ ，每次算出在

[l, m i d]

$[l, mid]$ 范围内的数字个数，如果数量$ 阅读全文 »

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可持久化并查集

发表于 2020-01-22 20:24阅读：188评论：0推荐：0

摘要：合并不采用路径压缩，保证每次合并只修改一个节点的父亲，使当前版本与上一版本共用的节点尽可能的多为防止并查集退化成链，采取按秩合并

c o d e

$code$ ：阅读全文 »

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可持久化线段树

发表于 2020-01-22 20:23阅读：176评论：0推荐：0

摘要：每次进行单点修改后，会新增

l o g n

$log\ n$ 个新节点，即每次更改的结点数为树的高度增加的非叶子结点一个儿子是其他版本的节点，另一个儿子是连向新节点空间复杂度为

O (n + m l o g n)

$O(n+m\ log\ n)$

c o d e

$code$ ：标记永久化实现区间加区间查询

c o d e :

$code:$ 阅读全文 »

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网络流

发表于 2020-01-22 20:22阅读：403评论：0推荐：1

摘要：一个网络

G = (V, E)

$G=(V,E)$ 是一张有向图，图中每条有向边

(x, y) \in E

$(x,y)\in E$ 都有一个给定的权值

c (x, y)

$c(x,y)$ ，称为边的容量。特别地，若

(x, y) \notin E

$(x,y) \notin E$ ，则

c (x, y) = 0

$c(x,y)=0$ 。图中还有两个指定的特殊节点 \(S,T \in V(S \neq T) 阅读全文 »

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AC自动机

发表于 2020-01-22 20:21阅读：124评论：0推荐：0

摘要：构建字典图实现自动跳转，构建失配指针实现多模式匹配

fail

$\text{fail}$ 指针表示文本串在当前节点失配后，我们应该到哪个节点去继续匹配，

u

$u$ 的

fail

$\text{fail}$ 指针指向

v

$v$ 表示从根到

v

$v$ 的字符串为从根到

u

$u$ 的字符串的最长后缀，用

bfs

$\text{bfs}$ 来构建阅读全文 »

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线性基

发表于 2020-01-22 20:20阅读：180评论：0推荐：0

摘要：void insert(ll x) { for(int i=50;i>=0;--i) { if(x&((ll)1<<i)) { if(!a[i]) { a[i]=x; break; } else x^=a[i]; } } } ll query_max() { ll ans=0; for(int i= 阅读全文 »

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快速幂

发表于 2020-01-22 20:19阅读：120评论：0推荐：0

摘要：普通快速幂

c o d e :

$code :$ 有时配合龟速乘使用

c o d e :

$code :$

O (1)

$O(1)$ 快速乘

c o d e :

$code :$ 矩阵快速幂

c o d e :

$code :$ 通常用来矩阵加速，已知递推式，求数列第

n

$n$ 项如

f [i] = f [i 3] + f [i 1] (i ⩾ 3)

$f[i]=f[i 3]+f[i 1]\ (i\geqslant 3)$ 先构造目标矩阵$\begin{bmatr 阅读全文 »

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素数筛

发表于 2020-01-22 20:18阅读：140评论：0推荐：0

摘要：欧拉筛求小于

n

$n$ 的所有正整数中的素数集合

c o d e :

$code :$ 每个数只会被最小的素因子筛一次阅读全文 »

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扩展欧几里得算法

发表于 2020-01-22 20:17阅读：186评论：0推荐：0

摘要：裴蜀定理对任何整数

a

$a$ ，

b

$b$ 关于未知数

x

$x$ 和

y

$y$ 的线性不定方程（称为裴蜀等式）：

a x + b y = c

$ax+by=c$ 方程有整数解（当且仅当

c

$c$ 是

g c d (a, b)

$gcd(a,b)$ 的倍数），裴蜀等式有解时必然有无穷多个解即

a x + b y = c

$ax+by=c$ 有解的充要条件为

g c d (a, b) | c

$gcd(a,b)|c$ 原方程的解阅读全文 »

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离散化

发表于 2020-01-22 20:16阅读：119评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code :$ 借助

s

$s$ 数组来离散化

a

$a$ 数组阅读全文 »

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对拍

发表于 2020-01-22 20:14阅读：135评论：0推荐：0

摘要：

c o d e :

$code :$

c o d e :

$code :$ 随机数生成阅读全文 »

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ST表

发表于 2020-01-22 20:13阅读：155评论：0推荐：0

摘要：

O (n l o g n)

$O(n\ log\ n)$ 预处理，

O (1)

$O(1)$ 查询最值

f [i] [j]

$f[i][j]$ 表示，从

i

$i$ 位置开始的

2^{j}

$2^j$ 个数中的最大值，例如

f [i] [0]

$f[i][0]$ 表示的是

i

$i$ 位置的值，

f [i] [1]

$f[i][1]$ 表示的是

i

$i$ 位置和

i + 1

$i+1$ 位置中两个数的最大值

c o d e

$code$ ：阅读全文 »

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Splay

发表于 2020-01-22 20:12阅读：269评论：0推荐：0

摘要：二叉查找树，对于任意一个节点，该节点的关键码大于它的左子树中任意节点的关键码，该节点的关键码小于它的右子树中任意节点的关键码，且没有键值相等的点二叉查找树的中序遍历是一个关键码单调递增的节点序列数组及变量

f a [i] :

$fa[i]:$ 节点

i

$i$ 的父节点

s o n [i] [0] :

$son[i][0]:$ 节点

i

$i$ 的左儿子 $so 阅读全文 »

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重链剖分

发表于 2020-01-22 20:11阅读：238评论：0推荐：0

摘要：概念：重儿子：父亲结点的所有儿子中子树结点数目最多（

s i z e

$size$ 最大）的结点轻儿子：父亲结点中除了重儿子以外的儿子重边：父亲结点和重儿子连成的边轻边：父亲结点和轻儿子连成的边重链：由多条重边连接而成的路径轻链：由多条轻边连接而成的路径性质：在轻边

(u, v)

$(u,v)$ 中，\(size(u)/ 阅读全文 »

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负环与差分约束

发表于 2020-01-22 20:10阅读：241评论：0推荐：0

摘要：判负环跑

S P F A

$SPFA$ 时，设

s p_{c} n t [x]

$sp_cnt[x]$ 表示从

x

$x$ 入队次数，若更新时，

s p_c n t [y] > n

$sp\_cnt[y]\gt n$ ，则说明图中有负环，算法正常结束，则图中无负环 bool spfa() { queue<int> q; dis[1]=0; vis[1]=true; q.push(1); wh 阅读全文 »

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树的直径

发表于 2020-01-22 20:09阅读：138评论：0推荐：0

摘要：可以通过两次

d f s

$dfs$ 或

b f s

$bfs$ 求出树的直径，从任意结点出发，搜索得出直径的一个端点，然后从这个端点继续搜索，得出另一个端点，但无法处理负边权

c o d e

$code$ : 也可以用树形

D P

$DP$ 求直径，考虑每个结点

x

$x$ ，求出经过结点

x

$x$ 的最长链长度，则树的直径长度就是这些最长链长度的最大值，但无法求出直径的阅读全文 »

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LCA

发表于 2020-01-22 20:08阅读：164评论：0推荐：0

摘要：

L C A

$LCA$ ，即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点

u

$u$ 和

v

$v$ 最近的公共祖先倍增法求

L C A

$LCA$ ，核心本质是让两个结点每次向上走2的幂次步先处理出倍增数组

f a

$fa$ ，

f a [i] [j]

$fa[i][j]$ 为从结点

i

$i$ 向上走

2^{j}

$2^{j}$ 步后能走到的结点再将两个点移到同一深度最后开始倍增来跳深度，应用了阅读全文 »

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拓扑排序

发表于 2020-01-22 20:07阅读：130评论：0推荐：0

摘要：拓扑排序是选择入度为

0

$0$ 的点来进行

b f s

$bfs$ 的一个过程，求出拓扑序列点之间的关系有并列关系和先后关系，因为并列关系的存在，所以拓扑序列不一定是唯一的

c o d e

$code$ : "车站分级" ，巧妙建图，然后用拓扑的性质得出答案 "菜肴制作" ，建反图跑拓扑阅读全文 »

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数位DP

发表于 2020-01-22 20:06阅读：150评论：0推荐：0

摘要：必须考虑的状态: 决策了前

i

$i$ 位（该填第

p

$p$ 位）已填位保证在区间范围内，比最大值小（

b o o l

$bool$ 变量）由题意来判定填数的范围（如前一位前两位的数，前一位是否为某数) 阅读全文 »

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如何考虑状态

发表于 2020-01-22 20:05阅读：183评论：0推荐：0

摘要：由数据范围得出状态，如 "乌龟棋" 和 "杨老师的照相排列" ，分别为用了某种牌几张和某排站了多少人，乌龟棋用牌的使用情况也反映了当前的位置，其实也是根据题意模拟。根据题意，设置状态，使设置的状态能够覆盖到所有情况，并可以很好的进行转移，如 "移动服务" ，将员工的位置设为状态，并可以进一步优化，阅读全文 »

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Tarjan

发表于 2020-01-22 20:04阅读：597评论：0推荐：2

摘要：有向图搜索树对有向图进行

d f s

$dfs$ 时，递归经过的有向边形成的树，被称为搜索树。树边：边

(x, y)

$(x,y)$ 在搜索树中。前向边：搜索树中存在一条

x

$x$ 到

y

$y$ 的路径。后向边：搜索树中存在一条

y

$y$ 到

x

$x$ 的路径。横叉边：搜索树中不存在

x

$x$ 阅读全文 »

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二分图

发表于 2020-01-22 20:03阅读：277评论：0推荐：0

摘要：二分图匹配（匈牙利算法）匈牙利算法就是用增广路求最大匹配问题可以理解为是左部图被匹配时间复杂度为

O (n m)

$O(nm)$ ，但事实上，对于绝大部分的二分图，匈牙利算法都跑不够上限此时

m t c [i]

$mtc[i]$ 储存的为右部图

i

$i$ 所对应左部图的匹配

c o d e

$code$ : bool dfs(int x) { for(i 阅读全文 »

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最小生成树

发表于 2020-01-22 20:02阅读：140评论：0推荐：0

摘要：

K r u s k a l

$Kruskal$ 先把边按照权值进行排序，用贪心的思想优先选取权值较小的边，并依次连接，若出现环则跳过此边（用并查集来判断是否存在环）继续搜，直到已经使用的边的数量比总点数少一即可。

c o d e

$code$ : 其他若原图不连通，即建出的是一个森林，要结合题意再进行处理，如 "货车运输" ，跑完最大生成树后阅读全文 »

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最短路问题

发表于 2020-01-22 20:01阅读：247评论：0推荐：0

摘要：

F l o y d

$Floyd$ 多源最短路算法，用邻接矩阵存储，可以处理负边权，不能处理负环，本质是个

D P

$DP$ 。需要三层循环，时间复杂度为

O (n^{3})

$O(n^{3})$ ，在稠密图中有优势。记得

d i s

$dis$ 数组要初始化成正无穷（不相连的点之间），并且自己到自己的距离为

0

$0$ ，即

d i s [i] [i] = 0

$dis[i][i]=0$ 。 \(code\ 阅读全文 »

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建图相关

发表于 2020-01-22 20:00阅读：124评论：0推荐：0

摘要：邻接矩阵适合稠密图，空间耗费为

n^{2}

$n^{2}$ （n为点的个数）。邻接表适合稀疏图，空间耗费为

m

$m$ （m为边的条数）。通常来讲，在数据范围足够小时，采用邻接矩阵，而数据范围大时采用邻接表。阅读全文 »

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Manacher

发表于 2020-01-22 19:58阅读：138评论：0推荐：0

摘要：给定一个字符串，求它的最长回文子串的长度。这里要注意，回文串是要分奇回文串和偶回文串。为了避免讨论，我们在字符中间加入特殊字符。如

a b a a b b c

$abaabbc$ 变为

a

$a$

b

$b$

a

$a$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

c

$c$ 。时间复杂度为

O (n)

$O(n)$ 。

c o d e

$code$ ：阅读全文 »

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KMP

发表于 2020-01-22 19:57阅读：144评论：0推荐：0

摘要：给定两个字符串

s 1

$s1$ 和

s 2

$s2$ ，求

s 2

$s2$ 在

s 1

$s1$ 中所有的出现位置。

K M P

$KMP$ 有递推的感觉。在模式串

s t r 2

$str2$ 中，对于每一位

s t r 2 (i)

$str2(i)$ ,它的

k m p

$kmp$ 数组应当是记录一个位置

j

$j$ ,

j ⩽ i

$j \leqslant i$ ,并且满足

s t r 2 (i) = s t r 2 (j)

$str2(i)=str2(j)$ ,并且在

j! = 1

$j!=1$ 时阅读全文 »

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Trie

发表于 2020-01-22 19:56阅读：305评论：0推荐：0

摘要：字典树就是把所有单词插入一颗搜索树里。这样可以在线性时间内完成查找和维护信息。应用有， "于是他错误的点名开始了" 和 "补退选" 。

c o d e

$code$ ：阅读全文 »

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字符串Hash

发表于 2020-01-22 19:54阅读：145评论：0推荐：0

摘要：一般的字符串哈希：我们设置一个进制

x

$x$ ，把这个串

s

$s$ 看做一个

x

$x$ 进制数。

N u m = s 1 x^{0} + s 2 x^{1} + s 3 x^{2} + s 4 x^{3} + \dots

$Num=s1 x^0+s2 x^1+s3 x^2+s4 x^3+…$ 然后对一个比较大的质数取模。这种

h a s h

$hash$ 方法在随机情况下冲突的概率比较小，除非对着哈希构造方法卡。模数一般选用一个较大的质数来减小冲突的概率阅读全文 »

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线段树

发表于 2020-01-22 19:53阅读：261评论：1推荐：0

摘要：

N O I P

$NOIP$ 阶段只要不涉及区间翻转、区间插入的序列问题都可以用线段树实现。每一个节点维护一个区间的信息。线段树有分治的感觉。线段树可以处理很多符合结合律的操作。时间复杂度，建树为

O (n)

$O(n)$ ，区间查询和区间修改为

O (l o g n)

$O(log\ n)$ 。空间要开原序列长度的四倍。查询的话就是序列分割，由于阅读全文 »

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树状数组

发表于 2020-01-22 19:52阅读：125评论：0推荐：0

摘要：树状数组的本质是将前缀进行拆分维护,

i

$i$ 号节点维护的是原序列上

[i l o w b i t (i) + 1, i]

$[i lowbit(i)+1,i]$ 这段区间的信息。

l o w b i t (x)

$lowbit(x)$ 表示

x

$x$ 这个数在2进制下从低到高第一个非零位在十进制下的，例如

l o w b i t (7) = 1, l o w b i t (8) = 8

$lowbit(7)=1,lowbit(8)=8$ 。根据计算机补码的性质可得$lowbit( 阅读全文 »

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并查集

发表于 2020-01-22 19:50阅读：151评论：0推荐：0

摘要：并查集为森林的结构。有多棵多叉树，每个树的根结点定义为这棵树中元素的代表结点。用于查询两个点是否在同一集合内，以及合并两个集合。并查集妙用，如 "白雪皑皑" 和 "求和并替换" 。带有偏移量的并查集，如 "银河英雄传说" 和 "食物链" 。

c o d e

$code$ ：阅读全文 »

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堆

发表于 2020-01-22 19:49阅读：129评论：0推荐：0

摘要：因为堆是一棵完全二叉树，所以对于一个节点数为

n

$n$ 的堆，它的高度不会超过

l o g

$log$

n

$n$ ，所以对于插入，删除操作复杂度为

O (l o g

$O(log$

n)

$n)$ ，查询堆顶操作的复杂度为

O (1)

$O(1)$ 。可以用来维护若干贪心题，如 "数据备份" （用堆来实现反悔）, "超市" （也是一种反悔）。用对顶堆（一个大根堆阅读全文 »

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lhm_liu

01 2020 档案

公告

lhm_

清歌欲遏行云住，露春纤、并坐调笙。

《高阳台·将反魏塘疏香女子亦以次日归吴下置酒话别离怀惘惘》 - 清代 - 郭麐

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