review

1|0DP

1|1动态 DP

❌模板

1|2整体 DP

线段树合并时，当 $x,y$ 其中一个没有儿子时，就打标记返回。[PKUWC2018] Minimax [ZJOI2019] Minimax搜索 [CEOI2019] Magic Tree

1|3概率期望 DP

求期望时，可以试试对状态差分。

条件概率： $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \Rightarrow E(A|B)=\frac{E(AB)}{P(B)}$ 。

贝叶斯公式： $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$ 。

计数转概率：[AGC030D] Inversion Sum

1|4计数 DP

和区间有关的计数大部分都是先离散化转为左闭右开 $[\ )$ 后再处理。某位歌姬的故事 [APIO2016] 划艇

1|5树形 DP

长链剖分：用 $vector$ 实现。Dominant Indices [POI2014]HOT-Hotels [WC2010]重建计划

if(len[y]>=len[son[x]]) son[x]=y,len[x]=len[y]+1;

$dfs$ 序优化背包：决策是否加入当前子树。

1|6决策单调性

单调递增：二分栈或分治实现单调递减：实现

1|7斜率优化

$x$ 单调， $k$ 单调，单调队列维护。

$x$ 单调， $k$ 不单调，凸包上二分。[SDOI2012] 任务安排

$x$ 不单调， $k$ 不单调， $CDQ$ 分治或平衡树维护。[NOI2007] 货币兑换

用李超线段树来维护更方便。[CEOI2017] Building Bridges

树上点分治斜率优化。[NOI2014] 购票

1|8凸优化

[八省联考2018] 林克卡特树至多选 $k$ 个：[CEOI2011] Hotel

注意考虑凸包上共线的情况，就是最后计算答案时不能用 $DP$ 求出的个数 $cnt$ ，要用给定的限制 $k$ 。

2|0数据结构

2|1线段树

维护单调栈：楼房重建 [HNOI/AHOI2018] 转盘区间查询：实现粉兔文章

李超线段树：模板：[CEOI2017] Building Bridges 线段树合并：CF932F Escape Through Leaf 线段：[HEOI2013] Segment

❌势能线段树

注意是平衡树写法，节点上有信息。

2|501 Trie

整体加 $1$ ：[省选联考 2020 A 卷] 树整体异或、求 $\text{mex}$ ：[清华集训2016] Alice 和 Bob 又在玩游戏可持久化：[HEOI2013] ALO

3|0图论

3|1同余最短路

[国家集训队] 墨墨的等式 CF516E Drazil and His Happy Friends

3|2最小环

$Floyd$ 外层循环枚举到 $k$ 时，用 $dis_{i,j} + val_{i,k} + val_{k,j},i<k,j<k$ 更新答案，其中 $dis$ 为最短路径长度， $val$ 为边权。

3|3二分图

最大匹配必须边：满流，且 $x$ 和 $y$ 在残量网络上属于不同的强连通分量。

最大匹配可行边：满流，或 $x$ 和 $y$ 在残量网络上属于同一个强连通分量。

最大匹配必须点：在残量网络上，以 $S$ 为起点遍历流量为 $1$ 的边，没有遍历到的匹配点为左部图的必须点，以 $T$ 为起点遍历流量为 $0$ 的边，没有遍历到的匹配点为右部图的必须点。（这里遍历的就是未满流边）

霍尔定理：最大匹配为 $|X|-\max\limits_{S \subseteq X}\{|S|-|N(S)|\}$ ，其中 $N(S)$ 是和 $S$ 相连的点集。（再做几个相关题）

最小点覆盖 $=$ 最大匹配 [USACO05JAN] Muddy Fields G

最小边覆盖 $=$ $n-$ 最大匹配

最大独立集 $=n−$ 最大匹配 CF1404E Bricks

$DAG$ 的最小路径点覆盖 $=n−$ 拆点二分图最大匹配

$Dilworth$ 定理：最长反链 $=$ 最小可重链覆盖

3|4网络流

注意流量为实数时的精度问题，不能用极大值减较小值，会舍掉精度。

最小割可行边：满流，在残量网络上不存在 $x$ 到 $y$ 的路径。（缩点后判断，等价于 $x,y$ 属于不同的强连通分量）

最小割必须边：满流，是可行边，在残量网络上存在 $S$ 到 $x$ 和 $y$ 到 $T$ 的路径。（缩点后判断，等价于 $x$ 和 $S$ 属于同一个强连通分量， $y$ 和 $T$ 属于同一个强连通分量）

退流：要删掉边 $(x,y)$ ， $x$ 到 $S$ 跑最大流， $T$ 到 $y$ 跑最大流，总流量减去这两个最大流的较小值，然后就能直接删掉 $(x,y)$ 了。[SDOI2014] LIS 元旦老人与丛林 [八省联考2018] 劈配

最大权闭合子图：正权点权值和 $-$ 最小割。

最大密度子图：二分 $g\leqslant\frac{|E|}{|V|}$ ，得 $|E|-|V|×g \geqslant0$ ，转化为最大权闭合子图。

❌最小割二元关系：happiness 文理分科人员雇佣

❌上下界：有源汇转无源汇时记得加 $(T,S,0,inf)$ 。求最小流时，加这条边前就跑一遍最大流，加了后再跑一遍最大流，这条边的流量就是最小流。

❌循环流

[CQOI2012] 交换棋子

[NOI2012] 美食节

[HNOI2013] 切糕

3|5Tarjan

$low_x$ ：在以点 $x$ 为根的子树内的点通过非树边的一条边到达的 $dfn$ 最小的节点 $y$ 的 $dfn$ 值， $y$ 能到达 $x$ 。

强连通分量： $dfn_x=low_x$ ，更新 $low_x$ 时判 $vis_x$ 。

点双连通分量： $dfn_x \leqslant low_y$ 。

边双连通分量： $dfn_x < low_y$ ，更新 $low_x$ 时判 $link$ 。

3|6圆方树

只有圆方边，圆点度数为去掉该点后形成的连通块个数，方点度数为点双大小。

处理仙人掌时两点一边间不再新建方点，即存在圆圆边。

3|7差分约束

❌

如果我们有一些限制形如 $x_a−x_b<=d$

那么我们可以把它联系到最短路上，如果 $b→a$ 有一条长度为 $d$ 的边，那么必然有 $x_a<=x_b+d$

这样我们求最短路，可以得到 $x_a$ 的最大值

为什么是小于等于号却是最大值呢，因为我们是从正无穷向下规约的

3|82-SAT

一个存在后另一个必须存在： $x\rightarrow y,y^\prime\rightarrow x^\prime$

不能同时存在： $x\rightarrow y^\prime,y\rightarrow x^\prime$ 必须同时存在： $x\rightarrow y,x^\prime\rightarrow y^\prime$

至少存在一个： $x^\prime\rightarrow y,y^\prime\rightarrow x$ 至多存在一个： $x\rightarrow y^\prime,y\rightarrow x^\prime$

不能存在： $x\rightarrow x^\prime$ 必须存在： $x^\prime\rightarrow x$

选择缩点后编号较小的状态。要连逆否命题。

前缀优化建图：[PA2010] Riddle CF1215F Radio Stations CF1007D Ants CF587D Duff in Mafia

3|9最小树形图

3|10斯坦纳树

[BalticOI 2016 Day2] 城市

3|11虚树

bool cmp(const int &a,const int &b)
{
    return dfn[a]<dfn[b];
}
void build()
{
    sort(s+1,s+tot+1,cmp);
    for(int i=tot-1;i;--i) s[++tot]=lca(s[i],s[i+1]);
    sort(s+1,s+tot+1,cmp),tot=unique(s+1,s+tot+1)-s-1;
    for(int i=2;i<=tot;++i) fa[s[i]]=lca(s[i],s[i-1]);
}

注意清空的复杂度。

3|12欧拉图

void dfs1(int x)// 无向图
{
    for(int &i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        if(vis[i]) continue;
        int l=i;
        vis[i]=vis[i^1]=true,dfs1(e[i].to),p[++cnt]=l&1?-(l>>1):(l>>1);
    }
}
void dfs2(int x)// 有向图
{
    for(int &i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        if(vis[i]) continue;
        int l=i;
        vis[i]=true,dfs2(e[i].to),p[++cnt]=l;
    }
}

3|13Kruskal 重构树

for(int i=1;i<=m;++i)
{
    int x=find(ed[i].x),y=find(ed[i].y);
    if(x==y) continue;
    val[++tot]=ed[i].v,add(tot,x),add(tot,y);
    fa[x]=fa[y]=f[x][0]=f[y][0]=tot;
    if(tot==2*n-1) break;
}

3|14三元环

for(int i=1;i<=m;++i)
{
    int x=ed[i].x,y=ed[i].y;
    if(deg[x]>deg[y]||(deg[x]==deg[y]&&x>y)) swap(x,y);
    add(x,y);
}
for(int x=1;x<=n;++x)
{
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) vis[e[i].to]=x;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        for(int j=head[e[i].to];j;j=e[j].nxt)
            if(vis[e[j].to]==x)
                ans++;
}

四元环：

bool cmp(int x,int y)
{
    return deg[x]==deg[y]?x<y:deg[x]<deg[y];
}
for(int x=1;x<=n;++x)
{
    int y,z;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        if(cmp(x,y=e[i].to))
            for(int j=head[y];j;j=e[j].nxt)
                if(cmp(x,z=e[j].to))
                    cnt[x]+=vis[z],cnt[y]+=vis[z],cnt[z]+=vis[z]++;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        if(cmp(x,y=e[i].to))
            for(int j=head[y];j;j=e[j].nxt)
                if(cmp(x,z=e[j].to))
                    cnt[y]+=--vis[z];
}

3|15k 短路

3|16哈密顿图

P3561

3|17Prufer 序列

长为 $n-2$ ，值域为 $[1,n]$ ， $i$ 的出现次数为其对应的有标号无根树中 $i$ 的度数减一。

$k$ 个连通块，加 $k-1$ 条边使图连通的方案数为 $n^{k-2}\prod a_i$ 。

4|0数学

4|1线性基

本质是消元，可以用来求解异或方程组。求第 $k$ 小异或和时，将线性基的第 $i$ 位消元为只有二进制中的第 $i$ 位为 $1$ 即可。实现

4|2多项式

牛顿迭代：

g (x) \equiv g_{0} (x) - \frac{f (g_{0} (x))}{f^{'} (g_{0} (x))} (\mod x^{2 n})

$\large g(x) \equiv g_0(x) - \frac{f(g_0(x))}{{f}'(g_0(x))} \pmod{x^{2n}}$

4|3类欧几里得算法

4|4欧拉定理

a^{b} \equiv a^{b mod φ (m) + φ (m)} (\mod m), b ⩾ φ (m)

$\large a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod{m},b \geqslant \varphi(m)$

4|5中国剩余定理

$crt$ ：解为 $x=\sum\limits_{i=1}^na_i\frac{M}{m_i}t_i$ ，其中 $M=\prod\limits^n_{i=1}m_i,\frac{M}{m_i}t_i\equiv 1 \pmod{m_i}$ ，即 $t_i$ 为 $\frac{M}{m_i}$ 在模 $m_i$ 意义下的逆元。（注意计算 $\frac{M}{m_i}t_i$ 时，不要对 $m_i$ 取模）

$excrt$ ：两两合并方程：

\begin{aligned} {\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) \end{cases} \\ x = a_{1} + m_{1} t_{1} = a_{2} + m_{2} t_{2} \\ m_{1} t_{1} - m_{2} t_{2} = a_{2} - a_{1} \\ x \equiv m_{1} t_{1} + a_{1} (\mod lcm (m_{1}, m_{2})) \end{aligned}

$\large\begin{aligned} &\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x\equiv a_2 \pmod{m_2} \\\end{cases}\\ &x=a_1+m_1t_1=a_2+m_2t_2\\ &m_1t_1-m_2t_2=a_2-a_1\\ &x \equiv m_1t_1+a_1 \pmod{ \operatorname{lcm}(m_1,m_2) } \end{aligned}$

ll excrt()
{
    ll ans=a[1],M=m[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        ll g=exgcd(M,m[i]),tmp=((a[i]-ans)%m[i]+m[i])%m[i];
        if(tmp%g!=0) return -1;
        ans+=mul(x,tmp/g,m[i])*M,M*=m[i]/g,ans=(ans%M+M)%M;
    }
    return ans;
}

4|6卢卡斯定理

扩展卢卡斯定理：

f (n) (\mod p^{k}) = f (⌊ \frac{n}{p} ⌋) {(\prod_{i = 1, p ∤ i}^{p^{k}} i)}^{⌊ \frac{n}{p^{k}} ⌋} \prod_{i = 1, p ∤ i}^{n mod p^{k}} i (\mod p^{k})

$\large f(n) \pmod{p^k}=f\left(\left\lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor\right)\left( \prod_{i=1,p\not\mid i}^{p^k} i\right)^{\left\lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor} \prod_{i=1,p\not\mid i}^{n \bmod p^k} i \pmod{p^k}$

$n$ 小， $p$ 大， $p$ 为合数时计算组合数的方法：预处理阶乘时不算 $p$ 质因子的贡献，这样就有了逆元，计算组合数时再加上质因子的贡献。CF896D Nephren Runs a Cinema

取模技巧：[CEOI2004] Sweets [SDOI2013] 项链

4|7BSGS

取 $\sqrt p$ 时要上取整。要注意 $exBSGS$ 解比较小的情况。

4|8Pollard-Rho

4|9置换群

$Burnside$ 引理：

L = \frac{1}{| G |} \sum_{f \in G} c (f)

$\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f)$

$P\acute olya$ 定理：

L = \frac{1}{| G |} \sum_{f \in G} k^{m (f)}

$\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)}$

4|10筛法

4|11博弈论

4|12反演

莫比乌斯反演：

\begin{aligned} μ \times 1 = ϵ, φ \times 1 = i d, μ \times i d = φ \\ f = g \times 1 ⟺ g = f \times μ \end{aligned}

$\large\begin{aligned} &\mu \times 1=\epsilon ,\varphi \times 1=id ,\mu \times id=\varphi \\ &f=g \times 1\iff g=f \times \mu \end{aligned}$

二项式反演：

\begin{aligned} f (n) = \sum_{i = m}^{n} (\binom{n}{i}) g (i) & \Leftrightarrow g (n) = \sum_{i = m}^{n} (- 1)^{n - i} (\binom{n}{i}) f (i) \\ f (n) = \sum_{i = n}^{m} (\binom{i}{n}) g (i) & \Leftrightarrow g (n) = \sum_{i = n}^{m} (- 1)^{i - n} (\binom{i}{n}) f (i) \end{aligned}

$\large\begin{aligned} f(n)=\sum_{i=m}^n\binom{n}{i} g(i) &\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=m}^n(-1)^{n-i} \binom{n}{i} f(i)\\ f(n)=\sum_{i=n}^m\binom{i}{n} g(i) &\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n} \binom{i}{n} f(i) \end{aligned}$

注意是钦定，不是至少至多。

单位根反演：

[n ∣ k] = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} ω_{n}^{i k}

$\large [n\mid k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}$

4|13原根

若 $\delta_p(g) = \varphi(p)$ ，则 $g$ 为模 $p$ 的一个原根。最小原根大小是 $O(p^{\frac{1}{4}})$ 的，用 $g^{\frac{\varphi(p)}{p_i}} \not \equiv 1 \pmod{p}$ 检验暴力求即可。

4|14二次剩余

5|0字符串

5|1border

$WPL$ ：若 $i,j$ 是字符串 $s$ 的周期，且 $i+j\leqslant |s|$ ，则 $\gcd(i,j)$ 也是 $s$ 的周期。

5|2AC 自动机

要注意根为 $0$ 。

5|3后缀自动机

若维护了一个节点的 $\text{endpos}$ 集合的最小位置，新建 $nq$ 时，要从 $q$ 继承。

广义后缀自动机暴力跳 $fa$ 时打标记来保证正确性（每个串只有一次贡献）和复杂度（ $n\sqrt n$ ）。[SCOI2012] 喵星球上的点名

5|4回文树

5|5扩展 KMP

5|6Lyndon Word

6|0计算几何

6|1凸包

6|2半平面交

6|3闵可夫斯基和

7|0杂项

7|1莫队

7|2CDQ 分治

7|3模拟退火

7|4根号分治

CF840E In a Trap

__EOF__

本文作者：lhm_
本文链接：https://www.cnblogs.com/lhm-/p/14381438.html
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posted @ 2021-02-06 14:32 lhm_liu 阅读(248) 评论(0) 编辑收藏举报

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3|82-SAT

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