特征向量和特征值
概念
对于一个线性变换，若一个向量经过这个线性变换后，只是拉伸或者压缩，并没有离开该向量张成的空间，则称这个向量为该线性变换的特征向量，其中特征向量拉伸或者压缩的比例称为特征值。有些线性变换不存在特征向量，如旋转。
考虑一个线性变换 \(A\)，设 \(v\) 为它的某个特征向量，特征值为 \(\lambda\)，得 \(Av=\lambda v\)。这里等式左边为矩阵乘法，右边为向量数乘，将右边也转化为矩阵乘法的形式，变形后得 \((A-\lambda I)v=0\)，其中 \(I\) 为单位矩阵，也就是恒等变换。首先有 \(v\) 为零向量时，该等式成立。当 \(v\) 不是零向量时，因为有一个非零向量经过线性变换后变为了一个零向量，因此该线性变换一定降维，进一步得 \(\text{det}(A-I\lambda)=0\)，解该方程即可得特征值。
应用
\[\large A=\begin{bmatrix}
\frac{1}{n} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & 0 & \cdots & 0 \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{n} & \frac{1}{n-1} & \frac{1}{n-2} & \frac{1}{n-3} & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\]
快速计算 \(A^k\)。
设 \(E\) 为该矩阵的特征向量组成的矩阵，即其第 \(i\) 列为第 \(i\) 个特征向量，\(D\) 为对角矩阵，对角线上的第 \(i\) 个元素为第 \(i\) 个特征值，得：
\[\large\begin{aligned}
AE&=ED\\
A&=EDE^{-1}\\
A^k&=\left(EDE^{-1}\right)^k\\
A^k&=ED^kE^{-1}\\
\end{aligned}
\]
这称为矩阵的对角化，当一个 \(n\) 阶矩阵有 \(n\) 个线性无关的特征向量时，可以使用对角化。那么得出 \(A\) 的特征向量和特征值后就能快速计算 \(A^k\) 了。对于 \(A\) 有：
\[\large\text{det}(A-I\lambda)=(1-\lambda)(\frac{1}{2}-\lambda)\dots(\frac{1}{n}-\lambda)=0
\]
得 \(A\) 有 \(n\) 个特征向量，第 \(i\) 个特征向量的特征值为 \(\frac{1}{i}\)。设 \(v_{i,j}\) 表示该矩阵的第 \(i\) 个特征向量的倒数第 \(j\) 个元素，得：
\[\large v_{i,j}=(-1)^{i+j}\binom{i-1}{j-1}
\]
考虑证明，代入 \(Av=\lambda v\) 得：
\[\large\begin{aligned}
\frac{(-1)^{i+j}}{i}\binom{i-1}{j-1}=&\sum_{k=j}^i\frac{1}{k}(-1)^{i+k}\binom{i-1}{k-1}\\
=&\frac{1}{i}\sum_{k=j}^i(-1)^{i+k}\binom{i}{k}\\
=&\frac{1}{i}\sum_{k=0}^{i-j}(-1)^{k}\binom{i}{k}\\
=&\frac{1}{i}\sum_{k=0}^{i-j}\binom{k-i-1}{k}\\
=&\frac{1}{i}\binom{-j}{i-j}\\
=&\frac{(-1)^{i+j}}{i}\binom{i-1}{j-1}
\end{aligned}
\]
通过卷积就能 \(O(n\log n)\) 计算 \(A^k\) 了。
CF923E Perpetual Subtraction
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