概率生成函数

1|0概念

若 $X$ 为非负整数集 $\mathbb{N}$ 上的离散随机变量，其满足 $\text{Pr}(X=i)=a_i$，则称 $a_n\ (n \in \mathbb{N})$ 的生成函数为 $X$ 的概率生成函数，得：

$$\large F(z)=\mathbb E(z^X)=\sum_{i=0}^\infty \text{Pr}(X=i)z^i$$

因为 $X$ 为非负整数集 $\mathbb{N}$ 上的离散随机变量，所以有：

$$\large F(1)=\sum_{i=0}^\infty \text{Pr}(X=i)=1$$

对 $F(z)$ 求导，得：

$$\large {F}'(z)=\sum_{i=0}^\infty i\text{Pr}(X=i)z^{i-1}$$

得 $X$ 的期望为：

$$\large E(X)={F}'(1)=\sum_{i=0}^\infty i\text{Pr}(X=i)$$

得 $X$ 的方差为：

$$\large \large Var(X)={F}''(1)+{F}'(1)-({F}'(1))^2$$

2|0应用

2|1[CTSC2006] 歌唱王国

给定长为 $m$ 的序列 $A$，每次等概率随机一个 $1$ 到 $n$ 的数加到初始为空的序列 $B$ 的末尾，当 $A$ 为 $B$ 的子串时，停止随机，求序列 $B$ 的期望长度。链接

$m \leqslant 10^5$

设 $f_i$ 为 $B$ 长度为 $i$ 时停止的概率，$g_i$ 为 $B$ 长度为 $i$ 时未停止的概率，分别得概率生成函数 $F(x)$ 和普通生成函数 $G(x)$，所求即为 ${F}'(1)$。

设 $a_i$ 表示 $A[1,i]$ 是否为 $A$ 的 $\text{border}$，其取值为 $0$ 或 $1$，得：

$$\large\begin{aligned} xG(x)+1&=F(x)+G(x) \\ G(x)\left( \frac{1}{n}x \right)^m&=\sum_{i=1}^ma_iF(x)\left( \frac{1}{n}x \right)^{m-i} \end{aligned}$$

第一个式子为未停止时往后加一个数字，其可能停止，也可能未停止，加 $1$ 是 $B$ 为空的情况。第二个式子是向未停止的序列 $B$ 直接加上序列 $A$，其一定会停止，但发现不一定要全部加上序列 $A$，这里还需考虑 $\text{border}$。

对第一个式子求导并代入 $x=1$ 得：

$$\large\begin{aligned} G(x)+x{G}'(x)&={F}'(x)+{G}'(x) \\ {F}'(1)&=G(1) \\ \end{aligned}$$

将 $x=1$ 代入第二个式子得：

$$\large\begin{aligned} G(1)\left( \frac{1}{n} \right)^m&=\sum_{i=1}^ma_iF(1)\left( \frac{1}{n}\right)^{m-i} \\ G(1)&=\sum_{i=1}^ma_in^i \\ \end{aligned}$$

因此有 ${F}'(1)=\sum\limits_{i=1}^ma_in^i$，用 $KMP$ 即可 $O(m)$ 求解。

2|2[SDOI2017] 硬币游戏

给定 $n$ 个长度为 $m$ 的 $01$ 序列 $A_i$，序列互不相同，每次等概率随机 $0$ 和 $1$ 加到初始为空的序列 $B$ 的末尾，当有 $A_i$ 为 $B$ 的子串时停止，对于每个 $i$ 求出因其停止的概率。链接

$1 \leqslant n, m \leqslant 300$

设 $f_{i,j}$ 为 $B$ 长度为 $j$ 时因 $i$ 停止的概率，$g_i$ 为 $B$ 长度为 $i$ 时未停止的概率，分别得概率生成函数 $F_i(x)$ 和普通生成函数 $G(x)$，所求即为 $F_i(1)$。

设 $a_{i,j,k}$ 表示 $A_i$ 长度为 $k$ 的前缀是否和 $A_j$ 长度为 $k$ 的后缀相等，其取值为 $0$ 或 $1$，得：

$$\large G(x)\left( \frac{1}{2}x \right)^m=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^ma_{i,j,k}F_j(x)\left( \frac{1}{2}x \right)^{m-k}$$

和上一题一样，化简得：

$$\large \large G(1)=\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^ma_{i,j,k}F_j(1)2^k$$

注意到：

$$\large \sum_{i=1}^n F_i(1)=1$$

用高斯消元即可 $O(n^3)$ 求解。

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本文作者：lhm_
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