Lyndon 分解

Lyndon 串

其严格最小后缀为其本身的串，称为 \(Lyndon\) 串，也就是 \(s\) 是其所有循环移位中严格最小的。

\(s,t\) 都为 \(Lyndon\) 串是，且 \(s<t\)，则 \(st\) 也为 \(Lyndon\) 串。证明 \(t>st\) 后即可证明该性质。

Lyndon 分解

\(Lyndon\) 分解为将 \(s\) 分解得 \(s=s_1s_2s_3 \dots s_k\)，且 \(s_i \geqslant s_{i+1}\)，\(Lyndon\) 分解是存在且唯一的。

存在性由 \(Lyndon\) 串的性质不难得到，唯一性可以用反证法来证明。

Duval 算法

\(Duval\) 算法可以 \(O(n)\) 求出一个串的 \(Lyndon\) 分解。

对于字符串 \(s\) 和字符 \(c\)，若 \(sc\) 是某个 \(Lyndon\) 串的前缀，则对于字符 \(d>c\) 有 \(sd\) 是 \(Lyndon\) 串。

维护三个指针 \(p,i,j\)。\([1,p-1]\) 是已经进行完 \(Lyndon\) 分解的部分，\([p,j-1]\) 为 \(s_1s_2s_3 \dots s_kt\)，其中 \(t\) 可以为空串，且 \(s_1\) 是 \(Lyndon\) 串和 \(s_1=s_2= \dots =s_k\)，\(t\) 是 \(s_1\) 的前缀，满足 \(s[p,j-1]\) 比上一个分解出的串小。

当前加入字符 \(s_j\)，令 \(i=j-|s_1|\)，即为 \(t\) 在循环串对应的位置。进行分类讨论：

当 \(s_i=s_j\) 时，\(t\) 能继续匹配，让 \(i,j\) 都向后移动一个位置。

当 \(s_i<s_j\) 时，得 \(s[p,j]\) 为 \(Lyndon\) 串，将 \(i\) 移动到 \(p\)，\(j\) 向后移动一个位置。

当 \(s_i>s_j\) 时，得 \(s_1s_2s_3 \dots s_k\) 为分解后的串，然后继续考虑 \(t\)，\(j\) 向后移动一个位置。

因为 \(p\) 只向后移动，\(j\) 向前移动的距离不超过 \(p\) 向后移动的距离，所以复杂度为 \(O(n)\)。

while(p<=n)
{
    int i=p,j=p+1;
    while(j<=n&&s[i]<=s[j]) i=s[i]==s[j++]?i+1:p;
    while(p<=i) p+=j-i,ans^=p-1;
}

这段代码求的是 \(Lyndon\) 分解所有右端点的异或和。

应用

求解最小循环表示，\(O(n)\) 对所有 \(s[1,i]\) 求最小最大后缀。