先考虑这样的一个问题：有 \(n\) 种颜色的球，每种有 \(b_i\) 个，求满足相邻不同色的排列的方案数。CF840C On the Bench
考虑容斥，枚举有多少个违反了相邻不同色的限制，违反后可以将相邻同色的球看作一个整体，枚举有 \(c_i\) 段相邻，得：
\[\large\begin{aligned}
&\sum_c\left(\prod_{i=1}^n(-1)^{c_i}\binom{b_i-1}{c_i}\right)\frac{(\sum b_i-c_i )!}{\prod(b_i-c_i)!} \\
=&\sum_c\left(\prod_{i=1}^n(-1)^{b_i-c_i}\binom{b_i-1}{c_i-1}\right)\frac{(\sum c_i )!}{\prod c_i!} \\
\end{aligned}
\]
设 \(f(a,b)\) 为将 \(a\) 个球分为 \(b\) 段后，所有方案中长度之积的和，考虑组合意义，其为 \(a+b\) 划分为 \(b\) 个正整数后，每个数 \(-1\) 的乘积之和，那么就是先在 \(a+b-1\) 个位置中插 \(b-1\) 个隔板，划分为 \(b\) 段，然后再在每一段中选一个位置来插板，也就是奇数编号的隔板为划分每个数，偶数编号的隔板为划分每一段 ，得答案为 \(\binom{a+b-1}{2b-1}\)。
发现将 \(f(a,b)\) 和之前考虑的问题结合起来就是链的答案，得：
\[\large \sum_b\sum_c\left(\prod_{i=1}^n(-1)^{b_i-c_i}\binom{b_i-1}{c_i-1}f(a_i,b_i)\right)\frac{(\sum c_i )!}{\prod c_i!}
\]
考虑每一种颜色的指数型生成函数：
\[\large\begin{aligned}
F_i(x)&=\sum_c\frac{x^c}{c!}\sum_b(-1)^{b-c}\binom{b-1}{c-1}f(a_i,b) \\
&=\sum_c\frac{x^c}{c!}\sum_b(-1)^{b-c}\frac{(b-1)!}{(c-1)!(b-c)!}\frac{(a_i+b-1)!}{(2b-1)!(a_i-b)!} \\
&=\sum_c\frac{x^c}{c!(c-1)!}(-1)^c\sum_{b \geqslant c}^{a_i}(-1)^b\frac{(b-1)!}{(b-c)!}\frac{(a_i+b-1)!}{(2b-1)!(a_i-b)!} \\
&=\sum_c\frac{x^c}{c!(c-1)!}(-1)^c\sum_{b \geqslant 0}^{a_i-c}(-1)^{a_i-b}\frac{(a_i-b-1)!}{(a_i-b-c)!}\frac{(2a_i-b-1)!}{(2a_i-2b-1)!b!} \\
\end{aligned}
\]
可以卷积计算 \(F_i(x)\)，得答案为 \(\prod\limits_{i=1}^n F_i(x)\)，分治处理即可。
然后考虑环的情况，在开头为 \(1\) 且结尾不为 \(1\) 的情况统计答案，得其为开头为 \(1\) 的方案数减去开头结尾都为 \(1\) 的方案数，发现确定 \(a\) 个位置为 \(1\) 就是将 \(F_1(x)\) 向左平移 \(a\) 位。
对于周期为 \(T\) 的环，其对应 \(T\) 个不同的排列，那么该环应当被计算 \(T\) 次，设 \(m=\sum a_i\) 为总长，得若一个环有 \(b\) 段 \(1\)，则其会被算 \(\frac{b}{\frac{m}{T}}\) 次，那么在 \(F_1(x)\) 中除掉 \(b\)，最后对答案乘 \(m\) 即可。
