CF1361
Codeforces Round #647 (Div. 1) - Thanks, Algo Muse!
A
权值从小到大填，确定一个点的权值后，更新其相邻点的 \(\operatorname{mex}\)。
B
先将 \(k_i\) 从大到小排序，将 \(p_{k_i}\) 分到当前和较小的集合中，相等时分到第一个集合中，这样做就能只让出现次数为奇数的 \(k_i\) 产生贡献，因此差值最小。记录模意义下的差值来判定相等，用两个不同模数来防止误判。
C
枚举最终答案 \(k\)，把给定的线看作点，将两端珍珠权值在模 \(2^k\) 意义下相等的线之间连边，若存在欧拉回路，则该答案合法，方案即为欧拉回路。
D
发现该树的形态为若干条链在根节点处相接。设点 \(i\) 到根节点的距离为 \(d_i\)，其为链上第 \(j\) 远的点，得其贡献为 \((k-j-(j-1))d_i\)。考虑 \(k-j-(j-1)\) 的正负，当其 \(\geqslant 0\)，即 \(j \leqslant \frac{k+1}{2}\) 时，一定是先选距离远的，当其 \(<0\)，即 \(j > \frac{k+1}{2}\) 时，一定是先选距离近的。那么在每条链上选出贡献前 \(k\) 大的的点，排序后取前 \(k\) 大的和即为答案。
E
当以点 \(x\) 的 \(dfs\) 树上只有返祖边时，点 \(x\) 是有趣的。因为条件为 \(20\%\) 的点，所以只要随机撒点 \(100\) 次，每次 \(O(n+m)\) 判断当前点是否有趣，即可判定是否有解，每次错误的概率为 \(\frac{4}{5}\)。
找到一个有趣的点后，在其为根的 \(dfs\) 树上，对于除了根节点的一个点 \(x\)，有两条性质：
\(x\) 的子树内必须恰好有一条返祖边经过 \(x\)，否则 \(x\) 不是有趣的点。
满足上一条的情况下，\(x\) 为有趣的当且仅当 \(x\) 的子树内的返祖边指向的点为有趣的。
第一条性质不难证明，考虑证明第二条：
充分性：\(x\) 能通过树边到达其子树内的所有点，通过仅有的返祖边到 \(y\)，因为 \(y\) 是有趣的，所以 \(x\) 能到达其子树外的所有点。
必要性：当 \(x\) 为有趣的时，考虑以 \(x\) 为根的 \(dfs\) 树，在原树中 \(x\) 子树外的部分，\(y\) 是有趣的，因为当前的 \(dfs\) 树和这部分只有返祖边，所以 \(y\) 对于原树中 \(x\) 子树内的部分也是有趣的。
可以树上差分处理每个点被返祖边覆盖的情况，同时记录每个点子树内返祖边指向深度最浅的点，即可推出其他的有趣的点。
F
每个 \(W_i\) 会控制一个以该位置为最小值的极大区间，每次操作会交换该位置两侧的区间。因此考虑对 \(W_i\) 建笛卡尔树，\(P_i\) 挂在叶子节点上。
当 \(P = [3, 4, 6, 2, 1, 5],W = [5, 2, 3, 1, 4]\) 时，对应的笛卡尔树为：
发现操作就转化为了交换笛卡尔树上的左右儿子，设 \(val_x\) 为 \(x\) 左子树对于右子树的逆序对个数，考虑是否交换左右儿子，得 \(x\) 的最小贡献为：
在每个节点上用权值线段树维护子树内的 \(P_i\) 即可，因为数据随机，所以期望树高为 \(O(\log n)\)，每次修改就暴力跳父亲，复杂度为 \(O(n \log^2 n)\)。
