CF1344

Codeforces Round #639 (Div. 1)

A

\[\large\begin{aligned} x+a_{x \bmod n}&=y+a_{y \bmod n} \\ x-y&=a_{y \bmod n}-a_{x \bmod n} \\ k_1n+i-(k_2n+j)&=a_j-a_i \\ (k_1-k_2)n&=j+a_j-(i+a_i) \\ i+a_i &\equiv j+a_j \pmod{n} \end{aligned} \]

用桶判定即可。

B

发现在同一行或同一列中最多出现一段连续的黑格，不然 \(N\) 极磁铁就会被吸到黑格之间的白格。若某一行不存在黑格，则所有列不能都有黑格，可以在该行中没有黑格的一列放一个 \(S\) 极磁铁，因为当前行列都没有黑格，所以其不会产生影响，列的情况同理。

判完无解后，答案为黑色连通块个数。

C

不等关系具有传递性，将其用有向边表示，即若 \(x_i<x_j\) 则连边 \(i \to j\)，有环则无解。

发现当 \(i<j\) 时，若 \(x_i\) 和 \(x_j\) 存在不等关系 \(x_i<x_j\) 或 \(x_j>x_i\) 时，\(j\) 必须为 \(E\)，其在图上对应的就是能否到达。那么可以建出正图反图后拓扑排序，求出每个点能到达的最小的编号和能到达该点的最小的编号，通过这个就能判断每个点是 \(A\) 还是 \(E\) 了。

D

设 \(f_i(x)=x(a_i-x^2),x\in[0,a_i]\)，得：

\[\large\begin{aligned} &\Delta f_i(x) \\ =&f_i(x+1)-f_i(x) \\ =&(x+1)(a_i-(x+1)^2)-x(a_i-x^2) \\ =&-3x^2-3x+a_i-1 \end{aligned} \]

因此 \(\Delta f_i(x)\) 是单调不降的。

考虑一开始所有的 \(b_i\) 都为 \(0\)，每次可以将某个 \(b_i\) 加 \(1\)，要加 \(k\) 次。最优情况下每次操作后的变化量是单调不降的，因此可以二分最后一次操作的变化量，设二分的变化量为 \(v\)，得：

\[\large-3x^2-3x+a_i-1 \geqslant v \]

可以通过二分或者求根公式得出每个 \(b_i\) 要至少加多少，根据二分的结果调整即可构造方案。

本题为求多元函数在限制下的极值，因此也可以用拉格朗日乘数法做。其为在满足 \(\sum\limits_{i=1}^n b_i=k\) 的限制下，最大化 \(\sum\limits_{i=1}^n b_i(a_i-b_i^2)\)。

设 \(f(b_i)=\sum\limits_{i=1}^n b_i(a_i-b_i^2),\varphi(b_i)=\sum\limits_{i=1}^n b_i-k\)，拉格朗日函数为 \(L(b_i)=f(b_i)+\lambda\varphi(b_i)\)。

得拉格朗日函数 \(L(b_i)\) 梯度为 \(0\) 时，\(f(b_i)\) 最优，得：

\[\large\begin{aligned} \nabla_{b_i}L(b_i)=0,\forall i \in [1,n] \\ \nabla_{b_i}\left( \sum\limits_{i=1}^n b_i(a_i-b_i^2)+\lambda\left(\sum\limits_{i=1}^n b_i-k\right) \right)=0,\forall i \in [1,n] \\ a_i-3b_i^2=\lambda,\forall i \in [1,n] \end{aligned} \]

可以二分 \(\lambda\)，因为还有 \(b_i \leqslant a_i\) 的限制，得到的 \(b_i\) 可能不合法，因此在外面还要再套一层二分。

E

考虑每个非叶子节点 \(x\)，所有经过该节点的火车按经过 \(x\) 的时间 \(t_i\) 排序后得二元组 \((t_i,e_i)\)，\(e_i\) 为下一步走的边，还要考虑初始存在的边，即 \((0,e_0)\)。对于排序后相邻的 \((t_i,e_i),(t_{i+1},e_{i+1})\)，若 \(e_i \ne e_{i+1}\)，则必须在时间区间 \([t_i+1,t_{i+1}]\) 内对 \(x\) 进行一次操作，否则会在 \(t_i\) 时刻爆炸。

发现改变开关来使 \(x\) 到根的路径连通，很像 \(LCT\) 中的 \(access\) 操作，因此时间区间的个数是 \(O(n+m \log n)\) 的。在树上用 \(set\) 启发式合并即可找出所有的时间区间。

对所有时间区间按左端点排序后进行扫描，用堆维护当前可以操作的右端点，每次取最小的右端点操作，若每个时刻的右端点小于当前扫到的时刻，则第一问答案即为该右端点，第二问答案为小于第一问答案的右端点个数。

F

设 \(R\) 为 \(1\)，\(Y\) 为 \(2\)，\(B\) 为 \(3\)，\(W\) 或 \(.\) 为 \(0\)，设每个位置对应的值在二进制下的两位为 \(a_i,b_i\)，不难得每种操作的转化：

\(\operatorname{mix}\) 操作：求选出的数的异或和。

\(\operatorname{RY}\) 操作：交换 \(a_i,b_i\)。

\(\operatorname{RB}\) 操作：\(b_i \leftarrow a_i \operatorname{xor} b_i\)。

\(\operatorname{YB}\) 操作：\(a_i \leftarrow a_i \operatorname{xor} b_i\)。

那么任何时刻的 \(a_i,b_i\) 都可以用初始值表示，于是就得到了 \(2n\) 个未知数 \(2k\) 个方程的异或方程组，高斯消元即可，还需用 \(bitset\) 来优化。