CF1239

Codeforces Round #594 (Div. 1)

A

考虑只有一行且第一个格子为白色时，每次可以填连续相同颜色的一个或两个格子，因此其方案数为斐波那契数列，因为还有黑色，还需乘 \(2\)。一行确定后，其下一行必须填反色的情况，除非当前行为黑白相间的情况。第一行黑白相间时，对于列的确定也就是斐波那契数列了。得答案为 \(2(f_n+f_m-1)\)。

B

设 \(s_i\) 为前缀左括号减右括号个数，当满足 \(\forall i \in [1,n]\ s_i \geqslant 0 \and s_n = 0\) 时，其对应的括号序列是合法的。对于任意的括号序列，其循环移位的合法括号序列个数为 \(s_i\) 中最小值出现的个数。可以画出 \(s_i\) 对应的折线，通过图像平移就能发现该结论。

交换同种括号没意义，交换 \()\) 和 \((\) 会使一个区间的 \(s_i\) 加 \(2\)，其只会让最小值个数变小，因此只用考虑交换 \()\) 和 \((\) 的情况。交换 \()\) 和 \((\) 会使一个区间的 \(s_i\) 减 \(2\)，当该区间跨过一个最小值的位置时，最小值个数会变小，因此交换 \()\) 和 \((\) 作用的区间一定为两个最小值之间的区间。

设原先的最小值为 \(v\)。可能是使区间内的 \(v+1\) 变成 \(v-1\)，让 \(v-1\) 的出现次数贡献给答案。也可能是让一个没有出现 \(v+1\) 的区间内的 \(v+2\) 变成 \(v\)，加上原先 \(v\) 的出现次数贡献给答案。\(O(n)\) 扫一遍即可统计。

C

直接模拟题意，发现需要查询小于一个数且下标最小的位置，线段树二分即可。

也可以用 \(STL\) 的一些东西维护。

D

发现 \(i\) 不可能同时为人和猫。将给出的信息进行连边，边的含义为若当前点为人，其指向的点都不能为猫，那么在同一个强连通分量内的点要么都是人，要么都是猫。缩点后在 \(DAG\) 上任选一个入度为 \(0\) 的强连通分量作为猫，其他点作为人即可。

E

最优情况一定是第一行权值 \(a_i\) 递增，第二行权值 \(b_i\) 递减。考虑两条拐点相邻的路径，设其中一条路径的拐点在位置 \(i\)，另一条路径的拐点在位置 \(i+1\)，得两条路径的权值差为 \(\Delta_i=| a_{i+1}-b_i |\)，因为 \(a_i\) 递增，\(b_i\) 递减，得 \(\Delta_i\) 的图像为：

因此将最小值放到左上角，次小值放到右下角后，权值最大的路径的拐点只可能为 \(1\) 或 \(n\)。

那么问题就转化为了把权值分配给两行，使两行权值差最小，背包解决即可。\(DP\) 值记录选择的情况，可以方便构造方案。

F

称模 \(3\) 意义下，度数为 \(0\) 的点为 \(0\) 点，度数为 \(1\) 的点为 \(1\) 点，度数为 \(2\) 的点为 \(2\) 点。

考虑合法情况只有下列四种，且每种情况最后保留的点不能是所有点：

保留 \(0\) 点。

保留两个端点为 \(1\) 点，其余点为 \(2\) 点的链。

保留由 \(2\) 点构成的环。

保留两个不相交的 \(2\) 点的环，且经过同一个 \(1\) 点，即两个环有一个公共点，该点为 \(1\) 点。

然后根据这四条判定即可。