库默尔定理

定理

\(\binom{n+m}{m}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次为 \(n+m\) 在 \(p\) 进制下的进位次数。其中 \(p\) 为质数。

证明

因为 \(\binom{n+m}{m}\) 等于 \(\frac{(n+m)!}{n!m!}\)，所以 \(\binom{n+m}{m}\) 质因数分解后 \(p\) 的幂次为：

\[\large \sum_{i\geqslant 1} \left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor \\ \]

考虑对于 \(\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor\)，其意义为 \(n\) 在 \(p\) 进制下去掉后 \(i\) 位得到的数，因此 \(n+m\) 在第 \(i+1\) 位进位的充要条件为 \(\left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor=1\)。