库默尔定理

1|0定理

$\binom{n+m}{m}$ 质因数分解后 $p$ 的幂次为 $n+m$ 在 $p$ 进制下的进位次数。其中 $p$ 为质数。

2|0证明

因为 $\binom{n+m}{m}$ 等于 $\frac{(n+m)!}{n!m!}$，所以 $\binom{n+m}{m}$ 质因数分解后 $p$ 的幂次为：

$$\large \sum_{i\geqslant 1} \left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor \\ $$

考虑对于 $\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor$，其意义为 $n$ 在 $p$ 进制下去掉后 $i$ 位得到的数，因此 $n+m$ 在第 $i+1$ 位进位的充要条件为 $\left\lfloor \frac{n+m}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor-\left\lfloor \frac{m}{p^i} \right\rfloor=1$。

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本文作者：lhm_
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