题解 洛谷 P4654 【[CEOI2017]Mousetrap】

为方便处理，把树看作有根树，将陷阱房作为树的根。

先考虑一种特殊情况，老鼠起始房间和陷阱房是相邻的，即老鼠起始房间为根节点的一个儿子。一开始老鼠的决策是不可能向上走，其只可能一路向下沿最优路线到叶子节点，直到其无法行动。管理者的决策则是在老鼠向下走时堵住沿途的一些边，直到老鼠无法行动后，再堵住老鼠所在的叶子节点到根的路径上每个点延伸出去的分叉边，然后将路径进行清理，这样老鼠就会被一路赶到根节点。考虑树形 \(DP\)，设 \(f_x\) 为老鼠在点 \(x\) 进入 \(x\) 的子树后，将其又赶回点 \(x\) 的最小操作次数，得：

\[\large f_x = \underset{y \in son_x}{\text{2ndmax}}\{ f_y \} + num_x \]

其中 \(\text{2ndmax}\) 表示次大值，\(num_x\) 表示点 \(x\) 的儿子个数。老鼠的最优决策一定是往 \(f\) 尽可能大的点走，管理者的最优决策一定是堵住通向最大值的那条边，因此是从次大值转移过来。儿子个数是必要的操作次数，即堵住分叉边和清理边。

当老鼠起始房间和陷阱房不相邻时，一开始老鼠不一定会直接向下走，其可能会先向上跳，到达某个节点后才开始向下走，开始走后老鼠对走哪个儿子的选择取决于管理者堵边的情况。不难计算出老鼠选择完儿子后的最小操作次数，设老鼠在点 \(x\) 开始向下走，选择儿子点 \(y\)，得：

\[\large\begin{aligned} cost&=f_y+sum_x \\ sum_x&=sum_{fa_x}+num_x-1+[x=m],(x\not = root)\\ \end{aligned} \]

\(sum_x\) 为堵上点 \(x\) 到根的路径每个点的分叉边的操作次数，若 \(x\) 不为老鼠起始房间，则已经有一条分叉边被弄脏了，这条边就不用再堵了。

并不好处理老鼠在向上跳时管理者的决策，发现答案具有单调性，可以考虑进行二分操作次数。判定二分时，让老鼠不断向上跳，当老鼠所在的节点可以和某个儿子组成的 \(cost\) 大于当前还可进行的操作次数，就需要将通向这个儿子的边堵住。当前操作次数不够用或者超过了二分的操作次数时，二分的值就判定为不合法。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000010
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,root,m,l,r,ans;
int fa[maxn],f[maxn],sum[maxn];
bool tag[maxn];
struct edge
{
    int to,nxt;
}e[maxn];
int head[maxn],edge_cnt;
void add(int from,int to)
{
    e[++edge_cnt]={to,head[from]},head[from]=edge_cnt;
}
void dfs(int x,int fath)
{
    fa[x]=fath;
    int son=0,mx1=0,mx2=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) son+=(e[i].to!=fath);
    if(x!=root) sum[x]=sum[fath]+son-1+(x==m);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fath) continue;
        dfs(y,x);
        if(f[y]>mx1) mx2=mx1,mx1=f[y];
        else if(f[y]>mx2) mx2=f[y];
    }
    f[x]=mx2+son;
}
bool check(int val)
{
    int cnt=1;
    for(int x=m;x!=root;x=fa[x],cnt++)
    {
        int v=0;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to;
            if(tag[y]||f[y]+sum[x]<=val) continue;
            if(!cnt) return false;
            v++,cnt--;
        }
        val-=v;
    }
    return val>=0;
}
int main()
{
    read(n),read(root),read(m),r=2*n;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int x,y;
        read(x),read(y);
        add(x,y),add(y,x);
    }
    dfs(root,0);
    for(int i=m;i;i=fa[i]) tag[i]=true;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}