威尔逊定理

1|0定理

若 $p$ 为素数，得：

$$\large (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$$

$p$ 为素数和威尔逊定理互为充分必要条件，即威尔逊定理可以用来判定一个数是否为素数。

2|0证明

先同除 $-1$，即证明：

$$\large (p-2)! \equiv 1 \pmod{p}$$

即可。

当 $p=2$ 时显然成立。当 $p \not = 2$ 时，$p$ 为奇数，所以不考虑 $1$ 时，$(p-2)!$ 为偶数个数连乘。考虑到 $1$ 和 $p-1$ 的逆元都是其本身，所以 $2,3,\dots,p-3,p-2$ 这偶数个数中每个数的逆元都在里面出现了，所以这些数可以两两配对乘起来得 $1$。

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本文作者：lhm_
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