威尔逊定理
定理
若 \(p\) 为素数,得:
\[\large (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}
\]
\(p\) 为素数和威尔逊定理互为充分必要条件,即威尔逊定理可以用来判定一个数是否为素数。
证明
先同除 \(-1\),即证明:
\[\large (p-2)! \equiv 1 \pmod{p}
\]
即可。
当 \(p=2\) 时显然成立。当 \(p \not = 2\) 时,\(p\) 为奇数,所以不考虑 \(1\) 时,\((p-2)!\) 为偶数个数连乘。考虑到 \(1\) 和 \(p-1\) 的逆元都是其本身,所以 \(2,3,\dots,p-3,p-2\) 这偶数个数中每个数的逆元都在里面出现了,所以这些数可以两两配对乘起来得 \(1\)。