整数划分

1|0划分为 k 个正整数

设 $f_{i,j}$ 为把 $i$ 划分为 $j$ 个数的方案数，得：

$$\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-1,j-1}$$

整体加 $1$ 和新划分 $1$。

2|0划分为不重复的 k 个正整数

设 $f_{i,j}$ 为把 $i$ 划分为 $j$ 个数的方案数，得：

$$\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-j,j-1}$$

整体加 $1$ 和整体加 $1$ 后再新划分 $1$。

3|0划分为不大于 m 的不重复的 k 个正整数

设 $f_{i,j}$ 为把 $i$ 划分为 $j$ 个数的方案数，得：

$$\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-j,j-1} - f_{i-(m+1),j-1}$$

整体加 $1$ 和整体加 $1$ 后再新划分 $1$。

当 $i > m$ 时减去后面一项，因为每个数不重复，所以每次转移最多有一个数大于 $m$，变为 $m+1$，需要减去其贡献。

[HEOI2014]平衡

4|0划分为 k 个奇数

设 $f_{i,j}$ 为把 $i$ 划分为 $j$ 个奇数的方案数，$g_{i,j}$ 为把 $i$ 划分为 $j$ 个偶数的方案数，得：

$$\large \begin{aligned} f_{i,j}&=g_{i-j,j}+f_{i-1,j-1} \\ g_{i,j}&=f_{i-j,j} \end{aligned}$$

5|0优化

上面的 $DP$ 直接做复杂度都是 $O(n^2)$ 的，无法接受，考虑优化。

1|0划分为若干个正整数

分成两块$[1,S-1],[S,n]$来计算，最后用乘法原理统计答案。

前一块用直接用完全背包求解。

后一块中被划分的数大于等于 $S$，所以原先的 $DP$ 中 $j$ 只用枚举到 $\frac{n}{S}$，这里考虑到的最小的数也不再是 $1$，而是 $S$，于是方程变为：

$$\large f_{i,j}=f_{i-j,j} + f_{i-S,j-1}$$

复杂度为 $O(n(S+\frac{n}{S}))$，$S=\sqrt n$ 时最优，复杂度为 $O(n\sqrt n)$。

1|0划分为不重复的若干个正整数

$j$ 个数的最小值为 $\sum\limits_{k=1}^j k = \frac{j(j+1)}{2} \leqslant i$，得 $j$ 是根号级别的。

五边形数

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本文作者：lhm_
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