三元环

对无向图的三元环计数。

先对所有无向边定向，从度数小的点连向度数大的点，度数相同时，从编号小的点连向编号大的点。枚举每一个点 $x$，将其连出的点 $y$ 都打上 $x$ 的标记，再枚举点 $y$ 连出的点 $z$，若点 $z$ 有 $x$ 的标记，则 $(x,y,z)$ 为一个三元环。

这样每个三元环只会在 $x$ 处统计一次。

for(int i=1;i<=m;++i)
{
    int x=ed[i].x,y=ed[i].y;
    if(deg[x]>deg[y]||(deg[x]==deg[y]&&x>y)) swap(x,y);
    add(x,y);
}
for(int x=1;x<=n;++x)
{
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) vis[e[i].to]=x;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        for(int j=head[e[i].to];j;j=e[j].nxt)
            if(vis[e[j].to]==x)
                ans++;
}

定向后的图是不存在环的，因为如果存在环，则环上的每个点度数都相同，且编号都相同，这样的情况是不存在的。

枚举的过程中，$x \longrightarrow y$ 这条边对复杂度的贡献为 $y$ 的出边个数 $out_y$，得总贡献为 $\sum\limits_{i=1}^m out_{y_i}$。

当 $deg_y \leqslant \sqrt m$ 时，得 $out_y$ 是 $O(\sqrt m)$ 的。

当 $deg_y > \sqrt m$ 时，因为度数和是 $O(m)$ 的，度数大于 $deg_y$ 的点的个数是 $O(\sqrt m)$ 的，得 $out_y$ 是 $O(\sqrt m)$ 的。

所以复杂度为 $O(m \sqrt m)$。

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本文作者：lhm_
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