长链剖分

概念

长链剖分按深度剖分，重儿子为叶子最深的儿子。具体应用时可以通过指针记录信息，也可以优先遍历重儿子来 \(dfs\)，链上信息为一个在 \(dfs\) 序上的连续区间，便于统计信息和将信息从重儿子合并过来。

void dfs_son(int x,int fa)
{
    d[x]=dep[x]=d[fa]+1;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==fa) continue;
        dfs_son(y,x),dep[x]=max(dep[x],dep[y]);
        if(dep[y]>dep[son[x]]) son[x]=y;
    }
    len[x]=dep[x]-d[x];
}

一个节点到根节点的轻边个数是 \(\sqrt n\) 级别的。

树上 k 级祖先

可以做到 \(O(1)\) 查询树上 \(k\) 级祖先。对于每个长度为 \(len\) 的链，预处理链顶端向上 \(len\) 个节点，和沿链向下 \(len\) 个节点，其为即链上的点。询问时先树上倍增，跳到 \(2^i\) 级祖先，满足 \(2^i \leqslant k <2^{i+1}\)，对于 \(2^i\) 级祖先所在的链，满足 \(k-2^i < 2^i < len\)，所以可以跳到所在的链顶端后再通过预处理的信息来调整。

void dfs_son(int x)
{
    de[x]=dep[x]=de[f[x][0]]+1;
    for(int i=1;i<=19;++i) f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        dfs_son(y),dep[x]=max(dep[x],dep[y]);
        if(dep[y]>dep[son[x]]) son[x]=y;
    }
}
void dfs_dfn(int x,int tp,int anc)
{
    top[x]=tp,dfn[x]=++cnt,u[cnt]=anc,d[cnt]=x;
    if(son[x]) dfs_dfn(son[x],tp,f[anc][0]);
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(y==son[x]) continue;
        dfs_dfn(y,y,y);
    }
}
int ask(int x,int k)
{
    if(!k) return x;
    x=f[x][lg[k]],k-=(1<<lg[k])+de[x]-de[top[x]],x=top[x];
    if(k>=0) return u[dfn[x]+k];
    else return d[dfn[x]-k];
}

优化 DP

对于形如状态为 \(f_{x,i}\) ，\(i\) 那一维是关于深度的树形 \(DP\)，可以通过长链剖分来优化。每次转移时先从重儿子来继承，对轻儿子扫一遍其所在的链，因为每个轻儿子都是其所在链的顶端，所以每个点只会被扫一遍。

Dominant Indices，[POI2014]HOT-Hotels，[WC2010]重建计划