题解 洛谷 P3642 【[APIO2016]烟火表演】

设 \(f_i(x)\) 为以节点 \(i\) 为根的子树都以时刻 \(x\) 爆炸的最小代价，发现其为一个下凸的分段函数，即为一个下凸包。

考虑一个节点加上其与父节点的边后函数的变化，设原函数的最小值为 \(f_{\min}\)，取到最小值的区间为 \([l,r]\)，与父节点的边的边权为 \(v\)，得：

\[{f}'(x) = \begin{cases} f(x) + v & x \leqslant l \\ f_{\min} + l + v - x & l < x \leqslant l + v \\ f_{\min} & l + v < x \leqslant r + v \\ f_{\min} + x - r - v & r + v < x \end{cases} \]

发现和原函数对比，加上这条边后，函数的变化为向上平移左边的一段，然后加入三段斜率分别为 \(-1,0,1\) 的函数。对于一个节点，其所有儿子的新函数合并后的函数，即为该节点对应的函数。因为是合并起来的，所以该分段函数的每一段的斜率的差为 \(1\)，最小值右边的函数段数为其儿子个数。

对于函数，只需维护其端点位置即可，因为需要合并和删除，所以用可并堆来维护，我这里用的是左偏树。得 \(f_{root}(0)\) 为所有边权和，结合端点位置，即可计算最小值。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 600010
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,m,tot;
ll ans;
int fa[maxn],rt[maxn],ls[maxn],rs[maxn],dis[maxn],son[maxn];
ll v[maxn],val[maxn];
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(val[x]<val[y]) swap(x,y);
    rs[x]=merge(rs[x],y);
    if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]]) swap(ls[x],rs[x]);
    dis[x]=dis[rs[x]]+1;
    return x;
}
int del(int x)
{
    return merge(ls[x],rs[x]);
}
int main()
{
    read(n),read(m);
    for(int i=2;i<=n+m;++i)
        read(fa[i]),read(v[i]),son[fa[i]]++,ans+=v[i];
    for(int i=n+m;i>1;--i)
    {
        ll l=0,r=0;
        if(son[i])
        {
            for(int j=1;j<son[i];++j) rt[i]=del(rt[i]);
            l=val[rt[i]],rt[i]=del(rt[i]);
            r=val[rt[i]],rt[i]=del(rt[i]);
        }
        val[++tot]=l+v[i],rt[i]=merge(rt[i],tot);
        val[++tot]=r+v[i],rt[i]=merge(rt[i],tot);
        rt[fa[i]]=merge(rt[fa[i]],rt[i]);
    }
    while(son[1]--) rt[1]=del(rt[1]);
    while(rt[1]) ans-=val[rt[1]],rt[1]=del(rt[1]);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}