原根

阶

设 \(m > 1 , a \perp m\)，使得 \(a^n \equiv 1 \pmod{m}\) 成立的最小的 \(n\) 称为 \(a\) 模 \(m\) 的阶 \(\delta_m(a)\)。

由欧拉定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\) 得，\(\delta_m(a) \mid \varphi(m)\)。

原根

若 \(\delta_m(g) = \varphi(m)\)，则 \(g\) 为模 \(m\) 的一个原根。

设 \(g\) 为模 \(m\) 的一个原根当且仅当 \(\left \{g,g^2,\dots,g^{\varphi(m)}\right \}\) 构成模 \(m\) 的一个简化剩余系，即模 \(m\) 的完全剩余系中与 \(m\) 互素的数构成的子集。

模 \(m\) 存在原根当且仅当 \(m = 2,4,p^k,2p^k\)，\(p\) 为奇素数。

求一个原根：\(g \perp m\)，对于 \(\varphi(m)\) 的所有奇素数，都有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p_i}} \not \equiv 1 \pmod{m}\)，则 \(g\) 为模 \(m\) 的一个原根。

求所有原根：设 \(g\) 为模 \(m\) 的一个原根，则模 \(m\) 的所有原根为 \(\left \{g^k \mid 1 \leqslant k \leqslant \varphi(m),k \perp \varphi(m) \right \}\)，得模 \(m\) 存在 \(\varphi(\varphi(m))\) 个原根。