题解 洛谷 P3734 【[HAOI2017]方案数】

可以先考虑没有障碍物的情况，设计状态\(f_{i,j,k}\)，表示到达坐标 \((x,y,z)\)二进制下，\(x\)有\(i\)位，\(y\)有\(j\)位，\(z\)有\(k\)位的方案数。

得转移方程为：

\[ f_{i,j,k}=\sum_{x=1}^i f_{i-x,j,k}\binom{i}{x}+\sum_{x=1}^j f_{i,j-x,k}\binom{j}{x}+\sum_{x=1}^k f_{i,j,k-x}\binom{k}{x} \]

对所有障碍物的位置和最终的终点一起考虑，先将这些点按\(x\)为第一关键字，\(y\)为第二关键字，\(z\)为第三关键字排序，保证后面转移的合法。

设\(g_i\)为到达第\(i\)个点且不经过排序后顺序该点之前的点的方案数。对于\(g_i\)，计算时通过容斥，为从\((0,0,0)\)到该点不考虑障碍物的方案数，减去其他可以到达该点的点走过来的方案数，判断是否可以到达需看是否三维都是该点子集。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 20010
#define maxm 70
#define all 65
#define mod 998244353
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
ll n,m,r,tot;
ll f[maxm][maxm][maxm],g[maxn],C[maxm][maxm];
int get(ll x)
{
    int cnt=0;
    while(x) cnt++,x-=lowbit(x);
    return cnt;
}
struct node
{
    ll x,y,z;
    int a,b,c;
    void init()
    {
        a=get(x),b=get(y),c=get(z);
    }
}p[maxn];
bool cmp(const node &a,const node &b)
{
    if(a.x==b.x&&a.y==b.y) return a.z<b.z;
    if(a.x==b.x) return a.y<b.y;
    return a.x<b.x;
}
int main()
{
    read(n),read(m),read(r),read(tot);
    for(int i=1;i<=tot;++i)
        read(p[i].x),read(p[i].y),read(p[i].z),p[i].init();
    p[++tot]=(node){n,m,r},p[tot].init(),sort(p+1,p+tot+1,cmp);
    for(int i=0;i<=all;++i) C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=all;++i)
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<=all;++i)
    {
        for(int j=0;j<=all;++j)
        {
            for(int k=0;k<=all;++k)
            {
                for(int x=1;x<=i;++x) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-x][j][k]*C[i][x]%mod)%mod;
                for(int x=1;x<=j;++x) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j-x][k]*C[j][x]%mod)%mod;
                for(int x=1;x<=k;++x) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j][k-x]*C[k][x]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        g[i]=f[p[i].a][p[i].b][p[i].c];
        for(int j=1;j<i;++j)
        {
            if((p[j].x&p[i].x)!=p[j].x||(p[j].y&p[i].y)!=p[j].y||(p[j].z&p[i].z)!=p[j].z) continue;
            g[i]=(g[i]-g[j]*f[p[i].a-p[j].a][p[i].b-p[j].b][p[i].c-p[j].c]%mod+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld",g[tot]);
    return 0;
}