集合幂级数

定义

设全集为 \(U=\{ 0,2,\dots,n-1 \}\)，设 \(F\) 为一个域，称 \(f:2^U \to F\) 为 \(F\) 上的一个集合幂级数。对于每个 \(S \subseteq 2^U\)，记 \(f_S\) 为 \(S\) 代入 \(f\) 后的函数值，也称其为该集合幂级数的第 \(S\) 项系数。

用

\[\large f=\sum_{S\subseteq 2^U} f_Sx^S \]

来表示一个集合幂级数。

集合幂级数的加减法为对应系数的运算。

卷积

定义

\[\large\begin{aligned} h&=fg \\ \sum_{S\subseteq 2^U}h_Sx^S&=\left( \sum_{L\subseteq 2^U}f_Lx^L \right)\left( \sum_{R\subseteq 2^U}g_Rx^R \right) \\ &=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}\left( f_Lx^L \right) \left( g_Rx^R \right) \\ \end{aligned} \]

定义一种运算 \(\ast\)，使其满足交换律，结合律，存在单位元，使得：

\[\large \left( f_Lx^L \right) \left( g_Rx^R \right)=f_Lg_Rx^{L \ast R} \]

这样定义还满足加法的分配律。

集合并卷积

取 \(L \ast R=L \cup R\)，该卷积称为集合并卷积。若 \(h=fg\)，则有：

\[\large h_S=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \cup R = S]f_Lg_R \]

定义 \(f\) 的莫比乌斯变换为：

\[\large \hat f_{S} = \sum_{T\subseteq S} f_T \]

本质为高维前缀和。

由容斥原理，定义 \(\hat f\) 的莫比乌斯反演为：

\[\large f_S = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} \hat f_T \]

本质为高维差分。

代入集合并卷积的式子可以得到：

\[\large\begin{aligned} h_S&=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \cup R = S]f_Lg_R \\ \hat h_S&=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \cup R \subseteq S]f_Lg_R \\ &=\sum_{L\subseteq S}\sum_{R\subseteq S}f_Lg_R \\ &=\left ( \sum_{L\subseteq S}f_L\right ) \left ( \sum_{R\subseteq S}g_R \right ) \\ &=\hat f_S\hat g_S \\ \end{aligned} \]

快速进行莫比乌斯变换和莫比乌斯反演后即可 \(O(n2^n)\) 计算集合并卷积。

void FWT_or(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<all;len<<=1)
        for(int i=0;i<all;i+=len<<1)
            for(int j=i;j<i+len;++j)
                a[j+len]=(a[j+len]+a[j]*type)%p;
}

集合交卷积

取 \(L \ast R=L \cap R\)，该卷积称为集合交卷积。若 \(h=fg\)，则有：

\[\large h_S=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \cap R = S]f_Lg_R \]

定义 \(f\) 的莫比乌斯变换为：

\[\large \hat f_{S} = \sum_{S\subseteq T} f_T \]

本质为高维前缀和。

由容斥原理，定义 \(\hat f\) 的莫比乌斯反演为：

\[\large f_S = \sum_{S\subseteq T} (-1)^{|S|-|T|} \hat f_T \]

本质为高维差分。

代入集合交卷积的式子可以得到：

\[\large\begin{aligned} h_S&=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \cap R = S]f_Lg_R \\ \hat h_S&=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[S \subseteq L \cap R]f_Lg_R \\ &=\sum_{S \subseteq L}\sum_{S \subseteq R}f_Lg_R \\ &=\left ( \sum_{S \subseteq L}f_L\right ) \left ( \sum_{S \subseteq R}g_R \right ) \\ &=\hat f_S\hat g_S \\ \end{aligned} \]

快速进行莫比乌斯变换和莫比乌斯反演后即可 \(O(n2^n)\) 计算集合交卷积。

void FWT_and(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<all;len<<=1)
        for(int i=0;i<all;i+=len<<1)
            for(int j=i;j<i+len;++j)
                a[j]=(a[j]+a[j+len]*type)%p;
}

集合对称差卷积

取 \(L \ast R=L \oplus R\)，该卷积称为集合对称差卷积。若 \(h=fg\)，则有：

\[\large h_S=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \oplus R = S]f_Lg_R \]

对于一个集合 \(S\)，有：

\[\large \frac{1}{2^n}\sum_{T \subseteq 2^U}(-1)^{|S \cap T|}=[S=\varnothing] \]

当 \(S\) 为空集时，\((-1)^{|S \cap T|}\) 恒为 \(1\)，等式成立。当 \(S\) 不为空集时，将 \((-1)^{|S \cap T|}\) 两两配对即可。

也可以枚举交集来证明：

\[\large \sum_{T \subseteq 2^U}(-1)^{|S \cap T|}=2^{n-|S|}\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|}=2^{n-|S|}[S=\varnothing] \]

代入集合对称差卷积的式子可以得到：

\[\large\begin{aligned} h_S&=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}[L \oplus R \oplus S = 0]f_Lg_R \\ &=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}\frac{1}{2^n}\sum_{T \subseteq 2^U}(-1)^{|(L \oplus R \oplus S) \cap T|} f_Lg_R \\ &=\sum_{L\subseteq 2^U}\sum_{R\subseteq 2^U}\frac{1}{2^n}\sum_{T \subseteq 2^U}(-1)^{|L \cap T|}(-1)^{|R \cap T|}(-1)^{|S \cap T|} f_Lg_R \\ &=\frac{1}{2^n}\sum_{T \subseteq 2^U}(-1)^{|S \cap T|}\left(\sum_{L\subseteq 2^U}(-1)^{|L \cap T|}f_L\right)\left(\sum_{R\subseteq 2^U}(-1)^{|R \cap T|}g_R\right) \\ \end{aligned} \]

因此，定义 \(f\) 的沃尔什变换为：

\[\large \hat f_S=\sum_{T\subseteq 2^U}(-1)^{|S \cap T|}f_T \]

得 \(\hat f\) 的沃尔什逆变换为：

\[\large f_S=\frac{1}{2^n}\sum_{T\subseteq 2^U}(-1)^{|S \cap T|}\hat f_T \]

那么对于集合对称差卷积就有 \(\hat h_S=\hat f_S\hat g_S\)。

\(|U|=n\) 的 \(FWT\) 本质为每一维长度为 \(2\) 的 \(n\) 维 \(FFT\)。

快速进行沃尔什变换和沃尔什逆变换后即可 \(O(n2^n)\) 计算集合对称差卷积。

void FWT_xor(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<all;len<<=1)
    {
        for(int i=0;i<all;i+=len<<1)
        {
            for(int j=i;j<i+len;++j)
            {
                ll x=a[j],y=a[j+len];
                a[j]=(x+y)%p,a[j+len]=(x-y+p)%p;
                if(type<0) a[j]=a[j]*inv%p,a[j+len]=a[j+len]*inv%p;
            }
        }
    }
}

子集卷积

取 \(\ast\) 为不相交集合并，即当 \(A \cap B \ne \varnothing\) 时，\(A \ast B\) 未定义，即 \(x^Ax^B=0\)，否则为 \(A \cup B\)，称该卷积为子集卷积。若 \(h=fg\)，则有：

\[\large h_S=\sum_{L\subseteq S}\sum_{R\subseteq S}[L \cup R = S][L \cap R = \varnothing ]f_Lg_R \]

注意到 \([L \cup R = S][L \cap R = \varnothing ]=[L \cup R = S][|L| + |R| =|S| ]\)，因此定义 \(f\) 的集合占位幂级数 \(a\)，满足 \(\forall i\ne |S|,a_{i,S}=0 \and a_{|S|,S}=f_S\)，那么有：

\[\large \hat c_{k,S}=\sum_{i+j=k}\hat a_{i,S}\hat b_{j,S} \]

也就是进行莫比乌斯变换后，对占位幂级数中的形式幂级数进行卷积，复杂度为 \(O(n^22^n)\)。

for(int i=0;i<=n;++i) FWT(f[i],1),FWT(g[i],1);
    for(int i=0;i<=n;++i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
            for(int s=0;s<all;++s)
                h[i][s]=(h[i][s]+(ll)f[i-j][s]*g[j][s]%p)%p;
for(int i=0;i<=n;++i) FWT(h[i],-1);