min-max容斥

设\(\max(S)\)为集合S中的最大值，\(\min(S)\)为集合S中的最小值，可得

\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{| T|+1}\min(T) \]

\[\min(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T) \]

使用时要保证集合元素两两互异，若有相同元素，处理时进行微小扰动即可

对第一个等式进行分析，考虑一个元素\(x\)，其在集合\(S\)中的排名为\(k\)，那么对于一个\(S\)的子集\(T\)，使得\(\min(T)=x\)的\(T\)的个数有\(2^{|S|-k}\)个，其中大小为偶数的有\(2^{|S|-k-1}\)个，大小为奇数的有\(2^{|S|-k-1}\)个，刚好相互抵消

只有当这个元素\(x\)的排名为\(|S|\)时，也就是\(S\)集合中的最大值时，其不会被抵消