群论

1|0群

群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。设 $G$ 是一个非空集合，$\ast$ 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：

封闭性：若 $a,b\in G$，则存在唯一的 $c\in G$ 使得 $a\ast b=c$。

结合律：对 $G$ 中任意元素 $a,b,c$，都有 $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$。

存在单位元：存在 $e\in G$，满足对于任意 $a\in G$，都有 $e\ast a=a\ast e=a$。

存在逆元：对于任意 $a\in G$，都存在 $b\in G$，使得 $a\ast b=b\ast a=e$。

则称 $G$ 对 $\ast$ 构成一个群。

2|0置换群

有限集合到其自身的一一映射，称为该集合上的一个置换。

对一个有六个顶点的环来说：

沿对称轴翻转后，得到的置换为：

$$\large\binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{1\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2}$$

置换的乘法就是映射叠加。置换群中的元素是置换，运算是置换的乘法，置换群是一个不满足交换律的群。

对于集合中的一个元素 $x$，$x^G=\{f(x)\mid f\in G\}$ 称为 $x$ 的轨道，$G_x=\{f\mid f(x)=x,f\in G\}$ 称为 $x$ 的稳定化子。

轨道-稳定化子定理：对于一个置换群 $G$ 和一个元素 $x$，有 $|x^G||G_x|=|G|$。

对于置换 $f$，集合中满足 $f(x)=x$ 的元素称为该置换的不动点。

3|0Burnside 引理

设 $G$ 是集合 $A$ 上的置换群，$c(f)$ 为置换 $f$ 的不动点个数，若 $G$ 将集合 $A$ 划分为 $L$ 个等价类，则有：

$$\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f)$$

考虑证明，发现若一个元素 $x$ 的轨道大小为 $|x^G|$，因为置换群中一定存在逆元，所以一共有 $|x^G|$ 个元素和 $x$ 有相同的轨道，因此得每个元素的贡献为 $\frac{1}{|x^G|}$，得：

$$\large L=\sum_{x\in A}\frac{1}{|x^G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in A}|G_x|=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f)$$

举一个例子，$4$ 个点的环，染 $2$ 种颜色的方案数，要考虑旋转同构。

设不考虑旋转的 $16$ 种染⾊⽅案为集合 $A$，置换群 $G=\{f_0,f_1,f_2,f_3\}$，$f_i$ 代表对环顺时针旋转 $i$ 次，得：

$$\large\begin{aligned} L&=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f)\\ &=\frac{1}{|G|}\left( c(f_0)+c(f_1)+c(f_2)+c(f_3)\right)\\ &=\frac{1}{4}\left( 16+2+4+2\right)\\ &=6 \end{aligned}$$

4|0Pólya 定理

考虑一个置换可以写成轮换的形式：

$$\large\begin{aligned} \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{1\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2} &\Rightarrow (1)(2\ 6)(3\ 5)(4)\\ \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{3\ 5\ 6\ 4\ 2\ 1} &\Rightarrow (1\ 3\ 6)(2\ 5)(4) \end{aligned}$$

这样表示是一一对应的。

对于一个置换 $f$，设 $m(f)$ 为其轮换个数，若要用 $k$ 种颜色给集合 $A$ 染色，得 $c(f)=k^{m(f)}$，因为是不动点，所以每个轮换的颜色要一样，进一步得：

$$\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)}$$

__EOF__

本文作者：lhm_
本文链接：https://www.cnblogs.com/lhm-/p/12260105.html
关于博主：sjzez 的一名 OI 学生
版权声明：转载标明出处
声援博主：希望得到宝贵的建议