群论

群

群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构。设 \(G\) 是一个非空集合，\(\ast\) 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：

封闭性：若 \(a,b\in G\)，则存在唯一的 \(c\in G\) 使得 \(a\ast b=c\)。

结合律：对 \(G\) 中任意元素 \(a,b,c\)，都有 \((a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)\)。

存在单位元：存在 \(e\in G\)，满足对于任意 \(a\in G\)，都有 \(e\ast a=a\ast e=a\)。

存在逆元：对于任意 \(a\in G\)，都存在 \(b\in G\)，使得 \(a\ast b=b\ast a=e\)。

则称 \(G\) 对 \(\ast\) 构成一个群。

置换群

有限集合到其自身的一一映射，称为该集合上的一个置换。

对一个有六个顶点的环来说：

沿对称轴翻转后，得到的置换为：

\[\large\binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{1\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2} \]

置换的乘法就是映射叠加。置换群中的元素是置换，运算是置换的乘法，置换群是一个不满足交换律的群。

对于集合中的一个元素 \(x\)，\(x^G=\{f(x)\mid f\in G\}\) 称为 \(x\) 的轨道，\(G_x=\{f\mid f(x)=x,f\in G\}\) 称为 \(x\) 的稳定化子。

轨道-稳定化子定理：对于一个置换群 \(G\) 和一个元素 \(x\)，有 \(|x^G||G_x|=|G|\)。

对于置换 \(f\)，集合中满足 \(f(x)=x\) 的元素称为该置换的不动点。

Burnside 引理

设 \(G\) 是集合 \(A\) 上的置换群，\(c(f)\) 为置换 \(f\) 的不动点个数，若 \(G\) 将集合 \(A\) 划分为 \(L\) 个等价类，则有：

\[\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f) \]

考虑证明，发现若一个元素 \(x\) 的轨道大小为 \(|x^G|\)，因为置换群中一定存在逆元，所以一共有 \(|x^G|\) 个元素和 \(x\) 有相同的轨道，因此得每个元素的贡献为 \(\frac{1}{|x^G|}\)，得：

\[\large L=\sum_{x\in A}\frac{1}{|x^G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in A}|G_x|=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f) \]

举一个例子，\(4\) 个点的环，染 \(2\) 种颜色的方案数，要考虑旋转同构。

设不考虑旋转的 \(16\) 种染⾊⽅案为集合 \(A\)，置换群 \(G=\{f_0,f_1,f_2,f_3\}\)，\(f_i\) 代表对环顺时针旋转 \(i\) 次，得：

\[\large\begin{aligned} L&=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f)\\ &=\frac{1}{|G|}\left( c(f_0)+c(f_1)+c(f_2)+c(f_3)\right)\\ &=\frac{1}{4}\left( 16+2+4+2\right)\\ &=6 \end{aligned} \]

Pólya 定理

考虑一个置换可以写成轮换的形式：

\[\large\begin{aligned} \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{1\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2} &\Rightarrow (1)(2\ 6)(3\ 5)(4)\\ \binom{1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6}{3\ 5\ 6\ 4\ 2\ 1} &\Rightarrow (1\ 3\ 6)(2\ 5)(4) \end{aligned} \]

这样表示是一一对应的。

对于一个置换 \(f\)，设 \(m(f)\) 为其轮换个数，若要用 \(k\) 种颜色给集合 \(A\) 染色，得 \(c(f)=k^{m(f)}\)，因为是不动点，所以每个轮换的颜色要一样，进一步得：

\[\large L=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)} \]