题解 洛谷 P2046 【[NOI2010]海拔】

首先进行贪心，发现海拔有梯度时一定是不优的，最优的情况是海拔像断崖一样上升，也就是左上角有一片海拔高度为\(0\)，右下角有一片海拔高度为\(1\)。

发现这样的性质后，不难想到用最小割来解决问题，但数据规模过大，需要进行优化。

考虑到网格图是特殊的平面图，那么我们就将平面图转化为对偶图，通过对偶图求最短路来求平面图的最小割。

下面分析如何转化为对偶图：

我的做法是先\(n++\)，使\(n×n\)个区域转化为\(n×n\)个点。

一个区域用其左上角点的坐标来表示。（图中的红点）

平面图中的有向边顺时针旋转\(90°\)后作为对偶图中的边，例如当原图的有向边为自西向东（从左到右）时，连边情况应为：

黄色箭头表示原平面图中的边，蓝色箭头表示对偶图中的边，其他三种情况同理。

建完对偶图后，从\(S\)到\(T\)的最短路即为答案。

实现细节就看代码吧

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1200000
#define inf 2000000000
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	x=0;char c=getchar();bool flag=false;
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	if(flag) x=-x;
}
int n,s,t;
struct edge
{
    int to,nxt,v;
}e[maxn];
int head[maxn],edge_cnt;
void add(int from,int to,int val)
{
    e[++edge_cnt]=(edge){to,head[from],val};
    head[from]=edge_cnt;
}
int num(int x,int y)
{
	return y+(x-1)*n;
}
struct node
{
    int val,num;
    friend bool operator <(const node &x,const node &y)
    {
        return x.val>y.val;
    }
};  
priority_queue<node> q;
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
void dijkstra()
{
    for(int i=s;i<=t;++i) dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q.push((node){0,s});
    while(!q.empty())
    {
        node tmp=q.top();
        q.pop();
        int x=tmp.num;
        if(vis[x]) continue;
        vis[x]=true;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to,v=e[i].v;
            if(dis[y]>dis[x]+v)
            {
                dis[y]=dis[x]+v;
                q.push((node){dis[y],y});
            }
        }
    }
}
int main()
{
	read(n),n++;
    t=n*n+1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            int val;
            read(val);
            if(i==1) add(s,num(i,j),val);
            else if(i==n) add(num(i-1,j),t,val);
            else add(num(i-1,j),num(i,j),val);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            int val;
            read(val);
            if(j==1) add(num(i,j),t,val);
            else if(j==n) add(s,num(i,j-1),val);
            else add(num(i,j),num(i,j-1),val);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            int val;
            read(val);
            if(i==1) add(num(i,j),s,val);
            else if(i==n) add(t,num(i-1,j),val);
            else add(num(i,j),num(i-1,j),val);
        }
    }
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            int val;
            read(val);
            if(j==1) add(t,num(i,j),val);
            else if(j==n) add(num(i,j-1),s,val);
            else add(num(i,j-1),num(i,j),val);
        }
    }
    dijkstra();
    printf("%d",dis[t]);
	return 0;
}