决策单调性

1|0四边形不等式

1|1二维

优化形如 $f_{l,r}=\min\limits_{k=l}^{r-1} \{f_{l,k}+f_{k+1,r}+w_{l,r}\}$ 的 $DP$ 方程，如石子合并问题。其直接做复杂度是 $O(n^3)$ 的。

若 $w$ 满足：

四边形不等式（交叉小于包含）：对于任意 $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$，满足 $w_{a,c}+w_{b,d} \leqslant w_{b,c}+w_{a,d}$。（当等号永远成立时，称其满足四边形恒等式）

区间包含单调性：对于任意 $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$，满足 $w_{b,c} \leqslant w_{a,d}$。

则 $f$ 也满足四边形不等式，那么决策点 $s$ 满足 $s_{l,r-1} \leqslant s_{l,r} \leqslant s_{l+1,r}$，得：

$$\large \sum_{1 \leqslant l<r \leqslant n} s_{l+1,r}-s_{l,r-1}=\sum_{i=1}^n s_{i,n}-s_{1,i} \leqslant n^2$$

复杂度就降为 $O(n^2)$ 了。

当 $w$ 满足 $w_{l,r}+w_{l+1,r+1} \leqslant w_{l+1,r}+w_{l,r+1}$ 时，可以推得其满足四边形不等式。

1|2一维

优化形如 $f_i=\min\limits_{j=1}^{i-1} \{f_j+w_{j,i}\}$ 的 $DP$ 方程。

$w$ 不用满足区间包含单调性，只需满足四边形不等式，$f$ 就满足决策单调性。

1|3证明

当 $w$ 满足 $w_{l,r}+w_{l+1,r+1} \leqslant w_{l+1,r}+w_{l,r+1}$ 时，可以推得其满足四边形不等式。

若 $w_1,w_2$ 满足四边形不等式或区间包含单调性，则对于任意 $c_1,c_2 \geqslant 0$，$c_1w_1+c_2w_2$ 也满足四边形不等式或区间包含单调性。

若 $w$ 可以通过函数 $f(x),g(x)$ 表示，即 $w_{l,r}=f(r)-g(l)$，则 $w$ 满足四边形恒等式。当 $f,g$ 单调递增时， $w$ 还满足区间包含单调性。

若 $w_{l,r}$ 满足四边形不等式和区间包含单调性，则对于的下凸函数 $f(x)$，得 $f(w_{l,r})$ 满足四边形不等式。

若 $w_{l,r}$ 满足四边形不等式和区间包含单调性，则对于单调递增的下凸函数 $f(x)$，得 $f(w_{l,r})$ 满足四边形不等式和区间包含单调性。

2|0决策单调性

决策单调性：状态转移的最优决策点单调递增。若四边形不等式是的不等号是相反的，则单调性也会相反，若是去最大值，单调性也会相反。

可以用二分栈或者分治来实现，二分栈比分治会更快，复杂度都为 $O(n \log n)$。

2|1二分栈

要求必须快速 $O(1)$ 计算 $w_{i,j}$。

二分栈中存有三元组 $(l,r,pos)$，$l$ 代表决策的作用起点，$r$ 代表决策的作用终点，$pos$ 是决策点的位置。

若当前状态$i$已经不在栈头决策点的范围内，就弹出栈头。若位置为$i$的决策优于栈尾的决策，才进行下一步操作，来更新决策。若新决策点的作用范围覆盖了旧决策点，就弹出栈尾。若栈空了，就直接加入新决策点，说明其当前是最优的，否则就通过在旧决策点的范围内二分，来确定旧决策点的终点和新决策的的起点。

Lightning Conductor：$f_i=\max\limits_{j=1}^{i-1}\{a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\}$

double calc(int i,int j)
{
    return a[j]-a[i]+sqrt(i-j);
}
int find(node t,int x)
{
	int l=t.l,r=t.r,ans=t.r+1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(calc(mid,x)>=calc(mid,t.pos)) r=mid-1,ans=mid;
		else l=mid+1;
	}
	return ans;
}
void dp(double *f)
{
	q[h=t=1]=node(1,n,0);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		while(h<=t&&q[h].r<i) h++;
		f[i]=calc(i,q[h].pos);
		if(calc(n,i)>=calc(n,q[t].pos))
		{
			while(h<=t&&calc(q[t].l,i)>=calc(q[t].l,q[t].pos)) t--;
			if(h>t) q[++t]=node(i,n,i);
			else
			{
				int x=find(q[t],i);
				q[t].r=x-1,q[++t]=node(x,n,i);
			}
		}
	}
}

2|2分治

对于区间 $[l,r]$，已知其最优决策范围为 $[L,R]$。取 $mid$ 后扫一遍区间 $[L,\min(mid,R)]$ 来得出 $mid$ 的 $f$ 值和最优决策点 $pos$，那么左区间的最优决策范围为 $[L,pos]$，右区间的最优决策范围为 $[pos,R]$。

应用分治时要求保证区间 $[L,l-1]$ 的信息都已存在，因此应用分治大部分时候都是分层的两维 $DP$。

Lightning Conductor：$f_i=\max\limits_{j=1}^{i-1}\{a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\}$

double calc(int i,int j)
{
    return a[j]-a[i]+sqrt(i-j);
}
void solve(int l,int r,int L,int R,double *f)
{
    if(l>r) return;
    int pos,mid=(l+r)>>1;
    for(int i=L;i<=min(mid,R);++i)
    {
        double v=calc(mid,i);
        if(v>f[mid]) f[mid]=v,pos=i;
    }
    solve(l,mid-1,L,pos,f),solve(mid+1,r,pos,R,f);
}

可以处理无法快速 $O(1)$ 计算 $w_{i,j}$ 的 $DP$。

Yet Another Minimization Problem：$f_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{i}\{f_{k,j-1}+w_{k,i}\}$，其中 $w_{l,r}$ 为区间 $[l,r]$ 相同元素的对数。

void add(int c)
{
    sum+=cnt[c],cnt[c]++;
}
void del(int c)
{
    sum-=cnt[c]-1,cnt[c]--;
}
ll get(int ql,int qr)
{
    while(l<ql) del(a[l++]);
    while(r>qr) del(a[r--]);
    while(l>ql) add(a[--l]);
    while(r<qr) add(a[++r]);
    return sum;
}
void solve(int id,int l,int r,int L,int R)
{
    if(l>r) return;
    int pos,mid=(l+r)>>1;
    for(int i=L;i<=min(mid,R);++i)
    {
        ll v=f[i][id-1]+get(i+1,mid);
        if(v<f[mid][id]) f[mid][id]=v,pos=i;
    }
    solve(id,l,mid-1,L,pos),solve(id,mid+1,r,pos,R);
}

指针的移动均摊是 $O(1)$ 的。

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本文作者：lhm_
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