欧拉定理

费马小定理

定理

若 \(p\) 为素数，得：

\[\large a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},a \bot p \]

证明

考虑对于 \(p-1\) 个数 \(a \bmod p,2a \bmod p,\dots,(p-1)a \bmod p\)，其中 \(a \bot p\)。根据 \(ac \equiv bc \pmod{m} \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{m}\) 得这 \(p-1\) 个数互不相同，再由抽屉原理得这 \(p-1\) 个数构成了模 \(p\) 的一个完全剩余系，即其排序后为 \(1,2,\dots,p-1\)。由此得：

\[\large a \times 2a \times\dots\times(p-1)a \equiv (p-1)!a^{p-1} \equiv (p-1)! \pmod{p} \]

因为 \((p-1)!\) 不能被 \(p\) 整除，所以得 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p},a \bot p\)。

欧拉函数

概念

欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 且和 \(n\) 互质的数的个数。

性质

• 欧拉函数为积性函数

• \(\varphi(p)=p-1\) 其中 \(p\) 为素数。

• \(\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\) 其中 \(p\) 为素数。将 \(p^k\) 分成长度为 \(p\) 的 \(p^{k-1}\) 段后，得每一段和 \(p^k\) 互质的数个数为 \(p-1\)，所以总个数为 \(p^{k-1}(p-1)\)。

• 由算术基本定理得，\(n=\prod p_i^{k_i}\) 其中 \(p_i\) 为素数，得 \(\varphi(n)=n\prod\frac{p_i-1}{p_i}=n\prod(1-\frac{1}{p_i})\)。

  \[\large\begin{aligned} \varphi(n) &= \prod \varphi(p_i^{k_i}) \\ &= \prod p_i^{k_i-1}(p_i-1) \\ &= \prod p_i^{k_i}(1-\frac{1}{p_i}) \\ &= n\prod (1-\frac{1}{p_i}) \\ \end{aligned} \]

• \(\sum\limits_{d \mid n} \varphi(d) = n\)，即 \(\varphi \times 1 = id\)。

• \[\large\sum\limits_{i=1}^ni[i \bot n]=\frac{n \varphi(n)+\epsilon(n)}{2}​ \]

  考虑到当 \(n>1\) 时，因为与 \(n\) 互质的数总是成对出现，即若 \(i\) 与 \(n\) 互质，\(n-i\) 与 \(n\) 也互质，每对的和都为 \(n\)，这样的数对个数为 \(\frac{\varphi(n)}{2}\)，\(n=1\) 时特殊处理即可。

欧拉定理

定理

\[\large a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a\bot m \]

证明

和费马小定理的证明类似。

考虑对于 \(\varphi(m)\) 个数 \(\{ ka \bmod m \mid k \bot m , 0 \leqslant k < m\}\)，其中 \(a \bot m\)，根据抽屉原理得其构成了模 \(m\) 的一个简化剩余系，即为 \(\{ k \mid k \bot m , 0 \leqslant k < m \}\)，将这 \(\varphi(m)\) 个数连乘得：

\[\large a^{\varphi(m)} \prod_{k \bot m , 0 \leqslant k < m} k \equiv \prod_{k \bot m , 0 \leqslant k < m} k \pmod{m} \]

因为 \(\prod\limits_{k \bot m , 0 \leqslant k < m} k\) 不能被 \(m\) 整除，所以得 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a\bot m\)。

扩展欧拉定理

定理

\[\large a^b \equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)} & a \bot m \\ a^b & a \not \bot m , b < \varphi(m) \\ a^{b \bmod \varphi(m) + \varphi(m)} & a \not \bot m , b \geqslant \varphi(m) \end{cases} \pmod{m} \]

由欧拉定理 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m},a\bot m\)，第一和第三个式子可以合并：

\[\large a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod{m},b \geqslant \varphi(m) \]

证明

考虑 \(m\) 的一个质因子 \(p\)，得 \(m=sp^k,s \bot p\)，由欧拉定理得 \(p^{\varphi(s)} \equiv 1 \pmod{s}\)。因为欧拉函数为积性函数，得 \(\varphi(s) \mid \varphi(m)\)，所以 \(p^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{s}\)，同乘 \(p^k\) 得 \(p^{\varphi(m)+k} \equiv p^k \pmod{m}\)，得：

\[\large p^b \equiv p^{b-k}p^k \equiv p^{\varphi(m)+b} \pmod{m},b \geqslant k \]

因为 \(\varphi(m) \geqslant k\)，所以 \(p^b \equiv p^{\varphi(m)+b} \pmod{m},b \geqslant \varphi(m)\)，得：

\[ \large p^b \equiv p^{b-\varphi(m)} \pmod{m},b \geqslant 2\varphi(m) \]

结合 \(b \geqslant \varphi(m)\) 的情况，得：

\[\large p^b \equiv p^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod{m},b \geqslant \varphi(m) \]

考虑质因子的幂：

\[\large (p^k)^b \equiv p^{\varphi(m)+kb} \equiv p^{k\varphi(m)+kb} \equiv (p^k)^{\varphi(m)+b} \equiv (p^k)^{b \bmod \varphi(m)+\varphi(m)} \pmod{m},b \geqslant \varphi(m),k > 0 \]

再由算术基本定理 \(a=\prod p_i^{k_i}\) 合并即可，若 \(p_i\) 不是 \(m\) 的质因子，就直接应用欧拉定理。

应用

利用扩展欧拉定理，可以处理快速幂取模，即对指数取模，例如【模板】扩展欧拉定理，上帝与集合的正确用法，黑暗打击。

\[\large a^b \bmod m \]

其中 \(b\) 很大，达到 \(10^{20000000}\)。

ll qp(ll x,ll y)
{
    ll v=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) v=v*x%m;
        x=x*x%m,y>>=1;
    }
    return v%m;
}
ll get_phi(ll x)
{
	ll v=x,t=sqrt(x);
	for(int i=2;i<=t;++i)
    {
		if(x%i) continue;
		v=v*(i-1)/i;
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1) v=v*(x-1)/x;
	return v;
}

......

read(a),read(m),phi=get_phi(m);
scanf("%s",s+1),len=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=len;++i) 
{
    b=((b<<1)+(b<<3)+(s[i]^48));
    if(b>=phi) b%=phi,flag=true;
}
if(flag) b+=phi;
printf("%lld",qp(a,b));