线性筛

对于一个数论函数\(f\)，当\(gcd(a,b)=1\)时，\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称其为积性函数

对于一个数论函数\(f\)，若 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称其为完全积性函数

线性筛流程：

① 处理素数\(p\)

② 处理\(i \times p\) ，其中\(i\)是任意正整数，\(p \nmid i\) ，\(p\) 是素数，\(p\)是\(i \times p\)的最小素因子

③ 处理\(i \times p\)，其中\(i\)是任意正整数，\(p \mid i\)，\(p\)是素数，\(p\)是\(i\)的最小素因子，\(p\)是\(i \times p\)的最小素因子

应用举例：

欧拉函数\(φ(x)\)表示\([1, x]\)里的所有整数中，与\(x\)互质的数的个数

\(φ(p)=p-1\)（\(p\)为素数）

\(φ(n)=n\Pi \frac{p_i-1}{p_i}\)

① \(φ(p)=p-1\)

② \(φ(i \times p)=φ(i) \times φ(p)=φ(i) \times (p-1)\)

③ \(φ(i \times p)=np\Pi \frac{p_i-1}{p_i}=p \times φ(i)\)

\(code:\)

phi[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;++i)
{
	if(!tag[i])
	{
		pri[++tot]=i;
		phi[i]=i-1;
	}
	for(ll j=1;j<=tot;++j)
	{
		ll k=i*pri[j];
		if(k>n) break;
		tag[k]=true;
	    if(i%pri[j]!=0) 
			phi[k]=phi[i]*phi[pri[j]];
		else
		{
			phi[k]=phi[i]*pri[j];
			break;
		}
	}
}