Tarjan

1|0有向图

1|1搜索树

对有向图进行 $dfs$ 时，递归经过的有向边形成的树，被称为搜索树。

树边：边 $(x,y)$ 在搜索树中。

前向边：搜索树中存在一条 $x$ 到 $y$ 的路径。

后向边：搜索树中存在一条 $y$ 到 $x$ 的路径。

横叉边：搜索树中不存在 $x$ 到 $y$ 的路径和 $y$ 到 $x$ 的路径，且 $dfn_y<dfn_x$。

1|2强连通分量

强连通图：在有向图中，对于每一对 $x,y,x \not = y$， 都存在从 $x$ 到 $y$ 的路径和从 $y$ 到 $x$ 的路径，则该有向图为强连通图。

强连通分量：有向图中的极大强连通子图。

可以用 $Tarjan$ 算法 $O(n+m)$ 来求有向图的强连通分量。

若点 $x$ 为其所在的强连通分量在搜索树中第一个搜索到的点，称其为该强连通分量的根。

$dfn_x$：点 $x$ 的 $dfs$ 序，即 $dfs$ 中第一次搜索到点 $x$ 的次序。

$low_x$：在以点 $x$ 为根的子树内的点通过非树边的一条边到达的 $dfn$ 最小的节点 $y$ 的 $dfn$ 值，$y$ 能到达 $x$。

$st$：栈内元素为当前已访问过但没有判定为在某个强连通分量的点。

$vis_x$，表示点 $x$ 是否在栈中，用来判定一条边是否为返祖边。

当点 $x$ 满足 $dfn_x=low_x$ 时，其为其所在的强连通分量的根。

当枚举点 $x$ 的出边 $(x,y)$ 时，若 $y$ 为通过树边到达，则用 $low_y$ 更新 $low_x$，若 $y$ 为通过非树边到达，则用 $dfn_y$ 更新 $low_x$。

void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++dfn_cnt,st[++top]=x,vis[x]=true;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(!dfn[y]) tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
        else if(vis[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if(low[x]==dfn[x])
    {
        col_cnt++;
        int now;
        do now=st[top--],vis[now]=false,col[now]=col_cnt; while(now!=x);
    }
}

......

for(int i=1;i<=n;++i)
    if(!dfn[i])
		tarjan(i);

2|0无向图

2|1点双连通分量

割点：无向连通图中，如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉，图分裂为两个或两个以上的子图，则称该点为割点。

点双连通图：没有割点的无向连通图。

点连通分量：无向图中的极大点双连通子图。

选定一个根节点，从该根节点开始用 $dfs$ 遍历整个图。

对于根节点，若其有两棵即以上的子树，则根节点为割点。因为如果去掉这个点，这两棵子树就不能互相到达。

对于非根节点 $x$，存在边 $(x, y)$，如果 $dfn_x \leqslant low_y$，则 $x$ 为割点。因为从 $y$ 到以 $x$ 为根的子树之外的点都必须经过点 $x$。

void tarjan(int x,int root)
{
	int son=0;
	dfn[x]=low[x]=++dfn_cnt;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y,root),low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(x!=root&&dfn[x]<=low[y]) cut[x]=true;
			if(x==root) son++;
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(son>1) cut[x]=true;
}

......

for(int i=1;i<=n;++i)
    if(!dfn[i])
        tarjan(i,i);

求割点时维护一个栈即可求出每个点双连通分量。

当 $x$ 满足为割点时，就依次弹栈，直到弹出 $y$ 就停止，$x$ 还需留在栈中，因为割点 $x$ 可能属于多个点双连通分量。

void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++dfn_cnt,st[++top]=x;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(!dfn[y])
        {
            tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
            if(dfn[x]<=low[y])
            {
                col_cnt++;
                int now;
                do now=st[top--],col[now]=col_cnt; while(now!=y);
            }
        }
        else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
}

2|2边双连通分量

桥：无向连通图中，如果一条边去掉，图分裂为两个子图，则称该边为桥。

边双连通图：没有桥的无向连通图。

边连通分量：无向图中的极大边双连通子图。

对于点 $x$，存在边 $(x, y)$，如果 $dfn_x < low_y$，则边 $(x,y)$ 为桥。因为以 $y$ 为根的子树内的点都必须经过边 $(x,y)$。

记录入边 $link$ 的作用是不处理儿子到父亲边，对于边 $(x,y)$，若处理了儿子到父亲边，$low_y$ 就会等于 $dfn_x$，将无法判定桥，记录具体是哪一条入边是为了处理重边的情况。

求出桥后即可求出边双连通分量。

void tarjan(int x,int link)
{
	dfn[x]=low[x]=++dfn_cnt;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y,i),low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(dfn[x]<low[y]) bri[i]=bri[i^1]=true;
		}
		else if(i!=(link^1)) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
void dfs_col(int x)
{
	col[x]=co_cnt;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(col[y]||bri[i]) continue;
		dfs_col(y);
	}
}

......

for(int i=1;i<=n;++i)
	if(!dfn[i])
		tarjan(i,0);
for(int i=1;i<=n;++i)
    if(!col[i])
	    col_cnt++,dfs_col(i);

给定一个无向连通图，至少添加多少条边可以把它变为边双连通图。

先对边双连通分量进行缩点，得到一棵无根树，设该树度数为 $1$ 的节点个数为 $cnt$，则将该树变为边双连通图至少添加 $\frac{cnt+1}{2}$ 条边。

在叶子节点带权下求出树的带权重心，然后将不同子树内的节点两两配对连边即可，因为一个子树内的叶子节点个数不超过 $\frac{cnt}{2}$，因此一定能匹配完后覆盖所有边。

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本文作者：lhm_
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