二分图

二分图匹配（匈牙利算法）

匈牙利算法就是用增广路求最大匹配问题

可以理解为是左部图被匹配

时间复杂度为\(O(nm)\)，但事实上，对于绝大部分的二分图，匈牙利算法都跑不够上限

此时\(mtc[i]\)储存的为右部图\(i\)所对应左部图的匹配

\(code\):

bool dfs(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int y=e[i].to;
		if(vis[y]) continue;
		vis[y]=true;
		if(!mtc[y]||dfs(mtc[y]))
		{
			mtc[y]=x;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

......

for(int i=1;i<=n;++i)
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	if(dfs(i)) ans++;
}

二分图最小点覆盖

给定一张二分图，求出一个最小的点集\(S\)，使得图中任意一条边都已至少一个端点属于\(S\)。这个问题被称为二分图的最小点覆盖，简称最小覆盖

最小点覆盖\(=\)最大匹配

二分图最小覆盖模型的要素：每条边有两个端点，二者至少选择一个

求最小点覆盖方案：SAM I AM

二分图最大独立集

在一张无向图中，满足任意两点之间都没有边相连的点集被称为图的独立集。包含点数最多的一个被称为图的最大独立集

在一张无向图中，满足任意两点之间都有边相连的子图被称为图的团。包含点数最多的一个被称为图的最大团（团其实就是完全图）

最大独立集\(=n-\)最大匹配

无向图的最大团\(=\)其补图的最大独立集

有向无环图的最小路径点覆盖

给定一张有向无环图，要求用尽量少的不相交的简单路径，覆盖有向无环图的所有顶点（也就是每个顶点恰好被覆盖一次）。这个问题被称为有向无环图的最小路径点覆盖，简称最小路径覆盖

把每个点拆成编号为\(x\)和\(x+n\)的两个点。建立一张新的二分图，\(1 \sim n\)是左部点，\(n+1 \sim 2n\)是右部点。对原图的每条有向边\(( x,y)\)，在二分图的左部点\(x\)与 右部点\(y+n\)之间连边。最终得到的二分图成为原图的拆点二分图

有向无环图的最小路径点覆盖包含的路径条数\(=n-\)其拆点二分图的最大匹配数

最长反链：在有向无环图中，选出一个最大的点集，点集内任意两点不能互达

\(Dilworth\) 定理：最长反链 \(=\) 最小可重链覆盖

可以先传递闭包，此时最小可重链覆盖即为最小路径点覆盖，那么最长反链即为最小路径点覆盖