20170906校内训练

切糕（cut）

【问题描述】

小R意外获得了一块切糕，他准备把切糕分给n个小伙伴。切糕的形状是一个底边长为a，高为b的等腰三角形。小R打算横着或竖着切n-1刀把切糕切成面积相等的n块分给小伙伴，请你告诉他要在哪些地方切。

【输入格式】

输入文件cut.in

输入包含四个整数n,a,b,c，表示要切成n块，切糕的三个顶点分别位于(0,0),(a,0),(a/2,b)，若c=0，表示要横着切；若c=1，表示要竖着切。

【输出格式】

输出文件cut.out

输出共n-1行，每行一个实数，从小到大输出各切割处的位置，若c=0，每输出一个整数a，表示在直线y=a处切一刀；若c=1，每输出一个整数a，表示在直线x=a处切一刀。当你的输出与标准输出的绝对误差不超过时，判为正确。

【样例输入1】

3 5 2 0

【样例输出1】

0.3670068381

0.8452994616

【样例输入2】

2 5 3 1

【样例输出2】

2.5

【数据范围】

对于全部数据，2<=n<=1000，1<=a,b<=10^5；

对于50%的数据，c=0；

对于另外50%的数据，c=1。

暴力解方程

我们先分析横着的，设三角形AEF底为a，高为h，面积为S

AG，AE为三角形ABC，ADF的高，BC是我们要砍的第i刀

我们设AG=x     ∵△ABC∽△ADE    ∴AG^2/AE^2=S△ABC/S△ADF

(x^2)/(h^2)=((1-i/n)*S)/S

x^2=(1-i/n)*h^2

x=h*sqrt(1-i/n)

答案为GE=AE-AG=h-x

然后来分析竖着的

AG，DE为三角形ABC，BDE的高，DE是我们要砍的第i刀

（1）i<=n/2

设BE=x     ∵△BDE∽△BAG    ∴BE^2/BG^2=S△BDE/S△BAG

(x^2)/((a/2)^2)=((i/n)*S)/(S/2)

x^2=(i/n)*2*(a/2)^2

x=(a/2)*sqrt((i/n)*2)

答案为BE=x

（2）i>n/2

设CE=x     ∵△CDE∽△CAG    ∴CE^2/CG^2=S△CDE/S△CAG

(x^2)/((a/2)^2)=((1-i/n)*S)/(S/2)

x^2=(1-i/n)*2*(a/2)^2

x=(a/2)*sqrt((1-i/n)*2)

答案为BE=BC-CE=a-x

时间复杂度O(n)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
double a,h;int n,c;
int main()
{
    //freopen("cut.in","r",stdin);
    //freopen("cut.out","w",stdout);
    cin>>n>>a>>h>>c;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(!c)printf("%.10lf\n",h-h*sqrt(1-(double)i/n));
        else
        {
            if(i<=n/2)printf("%.10lf\n",(a/2.0)*sqrt((double)i*2/n)); 
            else printf("%.10lf\n",a-(a/2.0)*sqrt((1-(double)i/n)*2)); 
        }
    }
    return 0;
 }

采购（buy）

【问题描述】

小R有一个爱好，他经常去杂货市场上采购一些奇奇怪怪的物品。今天小R来到市场，发现有n个摊位，每个摊位出售不同的货物，第i个摊位出售的货物价格为ai。这些摊位的老板很奇怪，他们不喜欢你购买其他摊位的物品，如果你购买了k件其他摊位的物品，你在购买第i个摊位出售的物品时需要额外支付k*bi的钱，为了防止你买完一个摊位的物品后再去买另一家的物品，他们商量好要求你同时结账，现在小R有m元钱，他想知道自己最多能买多少种不同的物品。每个摊位只卖一种物品。

【输入格式】

输入文件buy.in

第一行两个正整数n和m，表示摊位数和小R的钱数。

接下来n行，每行两个非负整数ai,bi，意义同问题描述。

【输出格式】

输出文件buy.out

输出一个非负整数，表示答案。

【样例输入】

3 7

1 3

2 1

3 0

 

【样例输出】

2

 

【数据范围】

对于20%的数据，n<=20；

对于40%的数据，n<=1000；

对于另外10%的数据，bi=0；

对于另外20%的数据，所有bi均相等；

对于100%的数据，n,ai,bi<=100,000，m<=10^9。

二分答案k，当k已知时，每个摊位出售的物品价格是可以算出来的，c[i]=a[i]+b[i]*(k-1)（不算自己摊位买的商品）

我们把c数组按从小到大的顺序排序，买最前面的k样商品，看看总价钱有没有超过m，有就减小k，没有就增加k

本题会爆int，记得开long long

时间复杂度O(nlog(n)^2)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long c[100001];int a[100001],b[100001];
int n;long long m;
bool cmp(int a,int b){return a<b;}
bool check(int k)
{
    long long mm=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=((long long)a[i]+(long long)b[i]*(k-1));
    sort(c+1,c+n+1);
    for(int i=1;i<=k;i++){mm-=c[i];if(mm<0)return false;}
    return true;
}
int main()
{
    //freopen("buy.in","r",stdin);
    //freopen("buy.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    }
    int l=1,r=n+1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    printf("%d",l-1);
    return 0;
}

能量（power）

【问题描述】

小R在某次杂货采购中买到了n个XOR能量石，每个能量石有一个能量系数ai和共鸣系数bi，其中能量系数决定了能量石的好坏。小R想知道这些能量石的品质，但能量系数无法简单观测得到，只有通过能量共鸣仪促使能量石之间发生共鸣，才有办法获知能量系数。能量共鸣仪每次可以使一个区间内的所有能量石发生共鸣，并且获知这些能量石能量系数的异或和，但需要消耗等同于区间内所有能量石共鸣系数异或和的能量。小R已经测量出了各个能量石的共鸣系数，现在他想知道至少需要多少能量才能确定所有能量石的能量系数。

【输入格式】

输入文件power.in

第一行一个正整数n，表示能量石的个数。

第二行n个整数bi，表示各个能量石的共鸣系数。

【输出格式】

输出文件power.out

输出一个整数，表示最小的能量花费。

【样例输入】

2

1 3

【样例输出】

3

【数据范围】

对于20%的数据，n<=10；

对于50%的数据，n<=100；

对于70%的数据，n<=1,000；

对于100%的数据，n<=10,000，0<=bi<2^31。

下面的^表示异或

先介绍几个异或的性质

a^b=b^a

a^b=c  =>   c^b=a

a^b^c=a^(b^c)

如果我们知道了每个石头能量系数的前缀异或和（aa[])，那么我们就可以算出每个石头的能量系数 a[i]=aa[i]^aa[i-1]

然后，我们如果知道了aa[x-1]，那么我们可以通过获取[x,y]的异或和来得到aa[y] (x<y)   aa[x-1]^[x,y]=aa[y]    （前缀异或和的定义）

同理，我们如果知道了aa[y]，那么我们可以通过获取[x,y]的异或和来得到aa[x-1] (x<y)   aa[y]^[x,y]=aa[x-1]

题目要 求和的最小值，我们想到了什么，对，最小生成树

我们可以进行以下连边：开一个0号节点（aa[0]=0（前0个数的前缀异或和为0）），从x-1向y连一条b[x]^……^b[y]的无向边（知道aa[x-1]后，就能推出aa[y]）

为了方便处理，我们预处理出每个石头的共鸣系数的前缀异或和(bb[])

这样，我们使得这棵树连通，就能求出aa数组

因为边数过多（n*(n-1)条），所以我们不能用Kruskal求最小生成树，只能使用Prim，且Prim不能使用堆优化，一是更新答案时也要O(n)，二是会爆空间

时间复杂度O(n^2)，由于附中机子跑得快，所以还是能过

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int b[10001],bb[10001],n,d[10001];long long ans=0;
bool used[10001];
int main()
{
//    freopen("power.in","r",stdin);
//    freopen("power.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&b[i]);bb[i]=b[i]^bb[i-1];
    }
    memset(d,127,sizeof(d));d[0]=0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int v=-1;
        for(int j=0;j<=n;j++)if(!used[j]&&(v==-1||d[j]<d[v]))v=j;
        ans+=d[v];used[v]=1;
        for(int j=0;j<=n;j++)d[j]=min(d[j],bb[j]^bb[v]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
 }