博弈论

http://www.360doc.com/content/16/0313/12/21207324_541805330.shtml

 

通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

 

定义必败态和必胜态，
1.无法进行任何移动的局面是必败态；2.可以移动到必败态的局面是必胜态；3.所有移动都导致必胜态的局面是必败态。 按照这个定义，必败态和必胜态可以通过定义计算出来。

 

根据上面这个过程，可以得到一个递归的算法——对于当前的局面，递归计算它的所有子局面的性质，如果存在某个子局面是必败态，那么向这个子局面的移动就是必胜策略。

 

对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是必败态当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。

 

这个定理的证明却也不复杂，基本上就是按照两种局面的证明来的。 根据定义，证明一种判断局面的性质的方法的正确性，只需证明三个命题：
1、这个判断将所有无法进行任何移动的局面判为必败态；
2、根据这个判断被判为必胜态的局面一定可以移动到某个必败态；
3、根据这个判断被判为必败态的局面无法移动到某个必败态。 
这三个命题显然成立。
根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是必胜态，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。

 

 

 

现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。事实上，这个游戏可以认为是所有博弈论问题的抽象模型。也就是说，任何一个博弈论问题都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。
下面我们就在有向无环图的顶点上定义sg（Sprague-Garundy)函数
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。 对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：sg(x)=mex{sg(y) | y是x的后继 }。 
来看一下SG函数的性质。
首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足 sg(y)!=0。对于一个sg(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足sg(y)=0。 以上这三句话表明，顶点x所代表的局面是必败态当且仅当sg(x)=0。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。

 

但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？ 
让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当sg(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足sg(y)=i。也就是说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。
联想到Nim游戏，Nim 游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的 SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！ 对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把 ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。

 

刚才，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。 所以我们可以定义有向图游戏的和：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi 并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

 

有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。
所以，SG函数与“游戏的和”的概念是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。

 

sg函数：必败态的sg函数值为0，其它点的sg函数值为后继状态中没有出现的值的最小值

例如：有一个点的后继状态的sg分别是0，1，3，4。则该点的sg函数值为2

求sg函数值：gra表示图的邻接链表储存，subSeq表示该点的后继状态的函数值是否出现过

int sg[MAXN];  
vector<int> gra[MAXN];
  
int dfs(int a) {  
    if(sg[a] >= 0) return sg[a];  
    bool subSeq[MAXN] ;memset(subSeq,0,sizeof(subSeq));  
    for(int j = 0; j < gra[a].size(); ++j) {  
            sg[gra[a][j]] = dfs(gra[a][j]); 
            subSeq[sg[gra[a][j]]] = 1; 
    }  
    for(int i = 0; ; ++i) {  
        if(!subSeq[i]) {  
            return sg[a] = i; 
        }  
    }  
 };